正向指标的公式为：$ n_{ij} = \frac{{o_{ij}-min(o_{j})}}{{max(o_{j})-min(o_{j})}} $
负向指标的公式为：$ n_{ij} = \frac{{o_{ij}-min(o_{j})}}{{max(o_{j})-min(o_{j})}} $
期望值计算公式为：$ S_i = \sum_\limits{j=1}^m{ \omega_{j} \left(\frac{Zone_j^+ -n_{ij}}{Zone_j^+ -Zone_j^-} \right)} \quad \quad $
遗憾值计算公式为：$ R_i = \max_\limits{j=1} { \left( \omega_{j} (\frac{n_{ij}-0}{Zone_j^+ -Zone_j^-} )\right)} \quad \quad $
公式 |
| $$ Q_i = \left( 1-k \right) \left(\frac{S_i - Min(S_i)}{Max(S_i) -Min(S_i)} \right) + k\left(\frac{R_i - Min(R_i)}{Max(R_i) -Min(R_i)} \right) $$ |
$$ Q_i = \left( 1-k \right) a_i + kb_i \quad \quad $$
对于 $x,y$样本
$$ \begin{cases} \left( 1-k \right) a_x + kb_x \\ \left( 1-k \right) a_y + kb_y \end{cases} $$
以上问题就变成了求两条线段是否在$[0,1]$值域内有相交的问题，此题属于初中的知识范畴，不再详细描述。
$$ \left( 1-k \right) a_x + kb_x =\left( 1-k \right) a_y + kb_y $$
$$ a_x-k a_x + kb_x =a_y-k a_y + kb_y $$
$$ a_x- a_y=-k a_y + kb_y +k a_x - kb_x $$
$$ a_x- a_y=(- a_y + b_y + a_x - b_x)k $$
$$ k =\frac{a_x- a_y}{( a_x- a_y + b_y - b_x)} $$
上述是负向指标，数值越小越好，每一列数值最小的排第一。因此排序情况如下：
$$Q_{rank}=\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{8 \times8}} &k=0 &k=0.073 &k=0.156 &k=0.312 &k=0.381 &k=0.636 &k=0.993 &k=1\\ \hline P1 &2 &2 &2 &2 &2 &1 &1 &1\\ \hline P2 &5 &5 &5 &5 &6 &7 &7 &8\\ \hline P3 &7 &6 &6 &5 &5 &5 &5 &5\\ \hline P4 &3 &3 &3 &4 &4 &4 &4 &4\\ \hline P5 &6 &6 &7 &7 &6 &6 &6 &6\\ \hline P6 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &2 &2\\ \hline P7 &8 &8 &8 &8 &8 &8 &7 &7\\ \hline P8 &4 &4 &3 &3 &3 &3 &3 &3\\ \hline \end{array} $$
| 序号 | 聚类特征-对应k值区段 | Q值排序 |
|---|---|---|
| 1 | 0<$k$< 0.07325 | $P6 \succ P1 \succ P4 \succ P8 \succ P2 \succ P5 \succ P3 \succ P7$ |
| 2 | 0.0733<$k$< 0.15553 | $P6 \succ P1 \succ P4 \succ P8 \succ P2 \succ P3 \succ P5 \succ P7$ |
| 3 | 0.1555<$k$< 0.31222 | $P6 \succ P1 \succ P8 \succ P4 \succ P2 \succ P3 \succ P5 \succ P7$ |
| 4 | 0.3122<$k$< 0.38137 | $P6 \succ P1 \succ P8 \succ P4 \succ P3 \succ P2 \succ P5 \succ P7$ |
| 5 | 0.3814<$k$< 0.6362 | $P6 \succ P1 \succ P8 \succ P4 \succ P3 \succ P5 \succ P2 \succ P7$ |
| 6 | 0.6362<$k$< 0.99307 | $P1 \succ P6 \succ P8 \succ P4 \succ P3 \succ P5 \succ P2 \succ P7$ |
| 7 | 0.9931<$k$< 1 | $P1 \succ P6 \succ P8 \succ P4 \succ P3 \succ P5 \succ P7 \succ P2$ |
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不多解释了，先点击下面的按钮进去看看就知道了
以0->min max<- 1方式夹逼显示。