带权重的距离公式是从规范化矩阵到距离矩阵的核心内容。此处分为求权重的方法与距离公式两个部分。
1、求权重的方法
$$
\begin{array} {|c|c|c|c|}
\hline {中文名称} & {英文简写} & {简要说明} \\
\hline \color{blue}{变异系数法} & \color{blue}{COV} & \color{blue}{客观} \\
\hline \color{blue}{复相关系数} & \color{blue}{MCC} & \color{blue}{客观} \\
\hline \color{blue}{CRITIC方法} & \color{blue}{CRITIC} & \color{blue}{客观} \\
\hline \color{blue}{熵权法} & \color{blue}{EWM} & \color{blue}{客观} \\
\hline \color{blue}{反熵权法} & \color{blue}{Anti-EWM} & \color{blue}{客观} \\
\hline \color{blue}{主成分分析} & \color{blue}{PCA} & \color{blue}{客观} \\
\hline \color{blue}{因子分析权数法} & \color{blue}{FAM} & \color{blue}{客观} \\
\hline \color{blue}{层次分析法} & \color{blue}{AHP} & \color{red}{主观} \\
\hline \color{blue}{网络分析法} & \color{blue}{ANP} & \color{red}{主观} \\
\hline \color{blue}{决策与实验室方法} & \color{blue}{DEMATEL} & \color{red}{主观} \\
\hline \color{blue}{决策与实验室-网络分析联用方法} & \color{blue}{D-ANP} & \color{red}{主观} \\
\hline \end{array}
$$
通常来说采用TOPSIS方法采用的是客观法，因为客观法可以利用当前的数据直接求出权重，计算上非常方便。常见的客观赋权法如下：
※变异系数（Coefficient of variation）变异系数又称“标准差率”，是衡量资料中各观测值变异程度的另一个统计量。当进行两个或多个资料变异程度的比较时，如果度量单位与平均数相同，可以直接利用标准差来比较。如果单位和（或）平均数不同时，比较其变异程度就不能采用标准差，而需采用标准差与平均数的比值（相对值）来比较。这是一个常用的方法
计算公式：
$$ (COV)_i= \frac {\delta _i }{ \bar {x} _i} \\
\omega _i = \frac { (COV)_i}{ \sum_\limits{i=1}^n (COV)_i}
$$
※复相关系数（multiple correlation coefficient）是常用的一种求权重的方法。它是指一个随机变量与某一组随机变量间线性相依性的度量。该方法又叫独立权系数法。
※CRITIC方法（Criteria Importance Though Intercrieria Correlation）。CRITIC方法是由Diakoulaki提出的一种客观权重赋权法。它的基本思路是确定指标的客观权数以两个基本概念为基础。一是对比强度，它表示同一指标各个评价方案取值差距的大小，以标准差的形式来表现，即标准化差的大小表明了在同一指标内各方案的取值差距的大小，标准差越大各方案的取值差距越大。二是评价指标之间的冲突性，指标之间的冲突性是以指标之间的相关性为基础，如两个指标之间具有较强的正相关，说明两个指标冲突性较低。
设 $C_j$ 表示第$ j$ 个指标(维度，分量)所包含的信息量，则 $C_j$可以表示为：
$$ C_j= {\delta _j }{ \sum_\limits{i=1}^n (1- r_{ij})} $$
$$ \omega _j = \frac { C_j}{ \sum_\limits{i=1}^m C_j} $$
其中$r_{ij} $的计算即相关系数的计算是关键。
$$ r_{ij} = \frac { n \sum xy -\sum x \sum y}{ \sqrt{ n \sum x^2 - ( \sum x)^2} \sqrt{ n \sum y^2 - ( \sum y)^2}} $$
其中$ x ,y $转化到规范化矩阵$N=( \mathcal {n} )_{n\times m}$ 其中$x ,y$分别对应规范化矩阵的第$x , y $列的系列值此相关系数为简单相关系数
※熵权法（the entropy weight method 简称EWM）是脱胎于信息论基本原理的解释，信息是系统有序程度的一个度量，熵是系统无序程度的一个度量；如果指标的信息熵越小，该指标提供的信息量越大，在综合评价中所起作用理当越大，权重就应该越高。熵权法是常用的一种求权重的方法。它是指一个随机变量与某一组随机变量间线性相依性的度量。
计算公式：
$$ 已经归一化矩阵N=\left[ x_{ij} \right]_{n \times m} $$
☆ 第 $ j $ 项指标下第 $i$ 个样本值占该指标的比重：$$ \rho _{ij}=\frac {x_{ij}} {\sum \limits_{i=1}^{n}{x_{ij}}},(i=1,2,3,\cdots,n;j=1,2,3,\cdots,m)$$
☆ 第 $ j $ 项指标(列)的熵值： 由于自然对数或者是以正数为底取对数无意义，对于规范化（归一化）矩阵要专门处理！！
$$ e_{j}=-k {\sum \limits_{i=1}^{n}{\rho _{ij}\times ln({\rho _{ij}}) } },(j=1,2,3,\cdots,m)$$
$$其中通常取 \quad \quad k= \frac{1}{ln(n)},( 0 \leqslant e_{j} \lt 1)$$
☆ 第 $ j $ 项指标(列)的差异系数：
$$ \quad d_{j}=1-e_{j} $$
☆ 第 $ j $ 项指标(列)的权重：
$$ \omega_{j}=\frac {d_{j}} {\sum \limits_{j=1}^{m}{d_{j}}},(j=1,2,3,\cdots,m)$$
※反熵权法（the anti-entropy weight method 简称anti-EWM）其理念来自变异系数与熵权的概念，它认为指标的差异越大，反熵越大的理念，反熵越大，对应的权重越高。
$$
规范化矩阵N=
\begin{array}
{c|c|c|c|c|c|c|c}{ \tilde N_{n \times m}} &1 &2 &{\cdots} &{m-1} &m \\
\hline 1 & \mathsf {n}_{11}& \mathsf{n}_{12}&{\cdots}& \mathsf{n}_{1(m-1)}&\mathsf{n}_{1m} \\
\hline 2 & \mathsf {n}_{21}& \mathsf{n}_{22}&{\cdots}& \mathsf{n}_{2(m-1)}&\mathsf{n}_{2m} \\
\hline {\vdots} &{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}&{\vdots}\\
\hline n & \mathsf {n}_{n1}& \mathsf{n}_{n2}&{\cdots}& \mathsf{n}_{n(m-1)}&\mathsf{n}_{nm} \\
\hline \end{array}
$$
$$ r_{ij}=\frac {\mathsf {n}_{ij}} {\sum \limits_{i=1}^{n}{\mathsf {n}_{ij}}},(i=1,2,3,\cdots,n)$$
$$ h_{j}=- \sum \limits_{i=1}^{n}{r_{ij} ln(1-r_{ij})},(i=1,2,3,\cdots,n)$$
$$ \omega_{j}=\frac {h_{j}} {\sum \limits_{j=1}^{m}{h_{j}}},(j=1,2,3,\cdots,m)$$
※主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）， 是一种统计方法，也是快用烂了的一种方法，spss，matlab,python都有这玩意的工具包。通过正交变换将一组可能存在相关性的变量转换为一组线性不相关的变量，转换后的这组变量叫主成分。 主成分分析首先是由K.皮尔森（Karl Pearson）对非随机变量引入的，尔后H.霍特林将此方法推广到随机向量的情形。信息的大小通常用离差平方和或方差来衡量。此方法为常用的方法，它最大好处并不是求出各维度的权重，而是可以通过合并与抛弃部分维度，从总体上减少维度，使得分析的内容减少，模型更简洁且有说服力。它深刻的体现了，简洁就是美，堆出来的东西很可能里面是一堆垃圾信息。
※因子分析权数法(Factor analysis weight method FAM)， 这种方法也快用烂了，一般的用SPSS的基本都是用到这玩意。因子分析是指研究从变量群中提取共性因子的统计技术。最早由英国心理学家C.E.斯皮尔曼提出。他发现学生的各科成绩之间存在着一定的相关性，一科成绩好的学生，往往其他各科成绩也比较好，从而推想是否存在某些潜在的共性因子，或称某些一般智力条件影响着学生的学习成绩。因子分析可在许多变量中找出隐藏的具有代表性的因子。将相同本质的变量归入一个因子，可减少变量的数目，还可检验变量间关系的假设。
2、距离公式
| 编号 |
中文名 |
英文名 |
通式 |
概要说明 |
| 1 |
欧几里得距离 |
Euclidean |
$$d=\sqrt{\sum_{i=1}^N|P_i-Q_i|^2}$$ |
最常用 |
| 2 |
曼哈顿距离 |
City block |
$$ d=\sum_{i=1}^N|P_i-Q_i|$$ |
一阶距离 |
| 3 |
闵可夫斯基距离 |
Minkowski |
$$ d=({\sum_{i=1}^N|P_i-Q_i|^p})^{\frac{1}{p}}$$ |
很有用 |
| 4 |
切比雪夫 |
Chebyshev |
$$ d=max_i|P_i-Q_i|$$ |
|
| 5 |
索伦森指数 |
Sorensen |
$$ d=\frac{\sum_\limits {i=1}^N{(P_i-Q_i)}}{\sum_\limits {i=1}^N{(P_i+Q_i)}}$$ |
|
| 6 |
高尔距离 |
Gower |
$$ d=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N{|P_i-Q_i|}$$ |
|
| 7 |
泽格尔丰度 |
Soergel |
$$ d=\frac{\sum_\limits{i=1}^N|P_i-Q_i|}{\sum_\limits {i=1}^N max(P_i,Qi)} $$ |
|
| 8 |
卡克辛斯基 |
Kulczynski |
$$ d=\frac{\sum_\limits{i=1}^N |P_i-Q_i|}{\sum_\limits{i=1}^N min(P_i,Q_i)}$$ |
分母为零额外处理 |
| 9 |
堪培拉距离 |
Canberra |
$$ d =\sum_\limits{i=1}^N{\frac{|P_i-Q_i|}{P_i+Q_i}} $$ |
分母为零额外处理 |
| 10 |
洛伦兹距离 |
Lorentzian |
$$ d=\sum_ \limits {i=1}^N ln(1+|P_i-Q_i|)$$ |
|
| 11 |
交集覆盖度 |
Intersection |
$$ d=1-s=\frac{1}2\sum_{i=1}^N|P_i-Q_i|$$ |
|
| 12 |
波浪篱笆 |
WaveHedges |
$$ d=\sum_{i=1}^N{\frac{|P_i-Q_i|}{max(P_i,Q_i)}}$$ |
分母为零额外处理 |
| 13 |
泽卡诺夫斯基 |
Czekanowski |
$$ d=\frac{\sum\limits_{i=1}^N|P_i-Q_i|}{\sum\limits_{i=1}^N (P_i+Q_i)}$$ |
分母为零额外处理 |
| 14 |
莫蒂卡 |
Motyka |
$$ d=\frac{\sum\limits_{i=1}^N max(P_i,Q_i)}{\sum\limits_{i=1}^N(P_i+Q_i)}$$ |
|
| 15 |
鲁茨卡 |
Ruzicka |
$$ d=1-\frac{\sum\limits_{i=1}^N min(P_i,Q_i)}{\sum\limits_{i=1}^N max(P_i,Q_i)}$$ |
|
| 16 |
谷本 |
Tanimoto |
$$ d=\frac{\sum\limits_{i=1}^N(max(P_i,Q_i)-min(P_i,Q_i))}{\sum\limits_{i=1}^N max(P_i,Q_i)}$$ |
|
| 17 |
内积 |
InnerProduct |
$$ d=1- \sum\limits_{i=1}^N P_iQ_i$$ |
要求严格的归一化 |
| 18 |
调和平均数 |
Harmonic |
$$ d=1-2\sum_{i=1}^N\frac{P_iQ_i}{P_i+Q_i}$$ |
分母为零额外处理 |
| 19 |
余弦 |
Cosine |
$$ d=1-\frac{\sum\limits_{i=1}^N P_iQ_i}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^N P_i^2}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^N Q_i^2}}$$ |
分母为零额外处理 |
| 20 |
杰卡德系数 |
Jaccard |
$$ d=\frac{\sum\limits_{i=1}^N(P_i-Q_i)^2}{\sum\limits_{i=1}^N P_i^2+\sum\limits_{i=1}^N Q_i^2-\sum\limits_{i=1}^NP_iQ_i}$$ |
|
| 21 |
骰子 |
Dice |
$$ d=\frac{\sum\limits_{i=1}^N (P_i-Q_i)^2}{\sum\limits_{i=1}^N{P_i^2}+\sum\limits_{i=1}^N{Q_i^2}}$$ |
|
| 22 |
逼真度 |
Fidelity |
$$ d=1- \sum_{i=1}^N\sqrt{P_iQ_i}$$ |
|
| 23 |
巴塔查里亚(巴氏) |
Bhattacharyya |
$$ d=-ln\sum_{i=1}^N \sqrt{P_iQ_i}$$ |
|
| 24 |
海林格 |
Hellinger |
$$ d=2\sqrt{1-\sum_{i=1}^N\sqrt{P_iQ_i}}$$ |
|
| 25 |
马图斯塔-杰弗里斯-松下 |
Matusita |
$$ d= \sqrt{2-2\sum_{i=1}^N\sqrt{P_iQ_i}}$$ |
|
| 26 |
正方弦 |
Squared-chord |
$$ d=\sum_{i=1}^N(\sqrt{P_i}-\sqrt{Q_i})^2 $$ |
|
| 27 |
方形欧几里德 |
Squared Euclidean |
$$ d=\sum_{i=1}^d(P_i-Q_i)^2$$ |
|
| 28 |
皮尔逊 |
Pearson |
$$ d_P(P,Q)=\sum_{i=1}^N\frac{(P_i-Q_i)^2}{Q_i} $$ |
|
| 29 |
奈曼分布 |
Neyman |
$$ d_N(P,Q)=\sum_{i=1}^N\frac{(P_i-Q_i)^2}{P_i} $$ |
|
| 30 |
方差 |
Squared |
$$ d=\sum_{i=1}^d\frac{(P_i-Q_i)^2}{P_i+Q_i} $$ |
|
| 31 |
概率对称 |
Probabilistic Symmetric |
$$ d=2\sum_{i=1}^d\frac{(P_i-Q_i)^2}{P_i+Q_i} $$ |
|
| 32 |
张量 |
Divergence |
$$ d=2\sum_{i=1}^N\frac{(P_i-Q_i)^2}{(P_i+Q_i)^2} $$ |
|
| 33 |
克拉克邻近 |
Clark |
$$ d=\sqrt{\sum_{i=1}^N(\frac{|P_i-Q_i|}{P_i+Q_i})^2} $$ |
|
| 34 |
加法映射 |
Additive Symmetric |
$$ d=\sum_{i=1}^N\frac{(P_i-Q_i)^2(P_i+Q_i)}{P_iQ_i} $$ |
|
| 35 |
KL散度 |
Kullback-Leibler |
$$ d=\sum_{i=1}^N P_iln\frac{P_i}{Q_i} $$ |
|
| 36 |
杰弗里斯 |
Jeffreys |
$$ d=\sum_{i=1}^N(P_i-Q_i)ln\frac{P_i}{Q_i} $$ |
|
| 37 |
K发散 |
K-divergence |
$$ d=\sum_{i=1}^N P_iln\frac{2P_i}{P_i+Q_i} $$ |
|
| 38 |
托普索 |
Topsoe |
$$ d=\sum_{i=1}^N(P_iln(\frac{2P_i}{P_i+Q_i})+Q_iln(\frac{2Q_i}{P_i+Q_i})) $$ |
|
| 39 |
詹森-香农 |
Jensen-Shannon |
$$ d=\frac{1}{2}[\sum_{i=1}^N P_iln(\frac{2P_i}{P_i+Q_i})+\sum_{i=1}^NQ_iln(\frac{2Q_i}{P_i+Q_i})] $$ |
|
| 40 |
詹森差 |
Jensen difference |
$$ d=\sum_{i=1}^N[\frac{P_ilnP_i+Q_ilnQ_i}{2}-(\frac{P_i+Q_i}{2})ln(\frac{P_i+Q_i}{2})] $$ |
|
| 41 |
内加 |
Taneja |
$$ d=\sum_{i=1}^N(\frac{P_i+Q_i}{2})ln(\frac{P_i+Q_i}{2\sqrt{P_iQ_i}}) $$ |
|
| 42 |
库马尔 - 约翰逊 |
Kumar-Johnson |
$$ d=\sum_{i=1}^N(\frac{(P_i^2-Q_i^2)^2}{2(P_iQ_i)^{3/2}}) $$ |
|
| 43 |
范数均值 |
$Avg(L_1,L_{\infty})$ |
$$ d=\frac{\sum\limits_{i=1}^N|P_i-Q_i|+max(|P_i-Q_i|)}{2} $$ |
|
| 44 |
波浪篱笆变种 |
Vicis-Wave Hedges |
$$ d=\sum_{i=1}^N \frac{|P_i-Q_i|}{min(P_i,Q_i)} $$ |
|
| 45 |
对称变种 |
Vicis-Symmetric |
$$ d=\sum_{i=1}^N\frac{(P_i-Q_i)^2}{min(P_i,Q_i)^2} $$ |
|
| 46 |
最小均值变种 |
Vicis-Emanon |
$$ d=\sum_{i=1}^N\frac{(P_i-Q_i)^2}{min(P_i,Q_i)} $$ |
|
| 47 |
最大均值变种 |
Vicis-max-Emanon |
$$ d=\sum_{i=1}^N\frac{(P_i-Q_i)^2}{max(P_i,Q_i)} $$ |
|
| 48 |
最大对称均值变种 |
Vicis-max-Symmetric |
$$ d=max(\sum_{i=1}^N\frac{(P_i-Q_i)^2}{P_i},\sum_{i=1}^d\frac{(P_i-Q_i)^2}{Q_i})$$ |
|
