基于偏序集的采空区煤自燃可能性评价模型——验算

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　　原文为陈金全，王继仁，岳立柱 基于偏序集的采空区煤自燃可能性评价模型

　　该文行文逻辑清晰，每个关键步骤交代清楚。其整个步骤为：

　　1、由20个样品（评测区域，采样点）5个维度的评价指标，构成了 $20 \times 5$的原始数据表格。

　　2、 $20 \times 5$的矩阵根据自燃的容易程度进行归一化，其中专门讲到氧气浓度的归一化的方向不同。

　　3、求得5个评测维度的权重，文中并未直接求解，而是引用其它文章用熵权可拓法获得的值。采空区遗煤自燃危险性评价的熵权可拓方法

　　4、样本中 18、19、20为虚拟样本，它代表极易自燃、易自燃和安全 3 种危险等级，这三个样本可以看成为标注数据。或者看成客观标准

　　5、由归一化矩阵，按照权重由大到小的方向进行线性累加，得到累加矩阵D

　　6、由累加矩阵D求全偏序得到关系布尔矩阵，然后就是解释结构模型方法求出层次化的菊花链拓扑。

数据说明

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　　煤自燃评价指标及分级=\begin{array} {c|ccccccc}{代号} & 含义 \\ \hline PS1& \color{red}{距工作面距离} \\ \hline PS2& \color{red}{氧气浓度} \\ \hline PS3& \color{red}{工作面推进度} \\ \hline PS4& \color{red}{漏风强度} \\ \hline PS5& \color{red}{浮煤厚度} \\ \hline \end{array}

　　原始数据如下：

　　文中提到了归一化，并指出氧气浓度的归一化方向与其它几个相反。即氧气浓度要先取倒数的原则

　　文中提到的归一化是按列的极值归一化处理

　　采用熵权法获得每列的权重。这里只关注权重大小的顺序。权重的计算公式如下：

　　$1、 \rho _{ij}=\frac {x_{ij}} {\sum \limits_{i=1}^{n}{x_{ij}}}$

　　$2、 e_{j}=-k {\sum \limits_{i=1}^{n}{\rho _{ij}\times ln({\rho _{ij}}) } },(其中有 \quad k= \frac{1}{ln(20)}, 且 \quad 当 \rho _{ij}=0 时,令 \quad ln({\rho _{ij}})=-1000 )$

　　$3、 \quad 　d_{j}=1-e_{j} $

　　$4、 \quad \omega_{j}=\frac {d_{j}} {\sum \limits_{j=1}^{m}{d_{j}}} $

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{2 \times5}} &PS1 &PS2 &PS3 &PS4 &PS5\\ \hline 权重 &0.10145364167588 &0.17438547481032 &0.24670839313859 &0.3280005696132 &0.14945192076201\\ \hline 权重顺序 &5 &3 &2 &1 &4\\ \hline \end{array} $$

　　原文采用的为：

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{2 \times5}} &PS1 &PS2 &PS3 &PS4 &PS5\\ \hline \color{blue}{权重} & \color{blue}{0.183} &\color{blue}{0.465}&\color{blue}{0.186} &\color{blue}{0.159} &\color{blue}{0.007}\\ \hline \color{blue}{权重顺序} &\color{blue}{3} &\color{blue}{1} &\color{blue}{2} &\color{blue}{4} &\color{blue}{5} \\ \hline \end{array}$$

　　讨论：不同的方法得到的权重值属正常现象。因此原文采用的权重以及权重顺序是可行的。后续的计算以原文采用的方式进行。

　　得到排序后的矩阵：

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{20 \times5}} &PS2 &PS3 &PS1 &PS4 &PS5\\ \hline 1 &0.17003190671373 &0.93333333333333 &0.84007107952021 &0.73861090365945 &0.38235294117647\\ \hline 2 &0.57736766058059 &0.44444444444444 &0.9494669035984 &0.51456310679612 &0.32352941176471\\ \hline 3 &0.32403995599253 &0 &0.59184806752554 &0.022404779686333 &0.52941176470588\\ \hline 4 &0.76116599983669 &0 &0.63627276765882 &0.028379387602689 &0.5\\ \hline 5 &0.19955996322081 &0.53777777777778 &0.6251665926255 &0.010455563853622 &0.029411764705882\\ \hline 6 &0.075647869638235 &0.31111111111111 &0.59184806752554 &0 &0\\ \hline 7 &0.0014746451635075 &0.17777777777778 &0.00011106175033318 &0.051530993278566 &0.29411764705882\\ \hline 8 &0.012417697331678 &0.13333333333333 &0 &0.044062733383122 &0.32352941176471\\ \hline 9 &0.59587939630868 &0.13333333333333 &0.6251665926255 &0.10007468259895 &0.70588235294118\\ \hline 10 &1 &0.088888888888889 &0.64737894269214 &0.12471994025392 &0.73529411764706\\ \hline 11 &0.33516892992454 &0.93333333333333 &0.96557085739671 &0.26064227035101 &0.35294117647059\\ \hline 12 &0.41388698744705 &0.71111111111111 &1 &0.15608663181479 &0.32352941176471\\ \hline 13 &0.78995026466603 &0.53333333333333 &0.51521545979565 &0.079910380881255 &0.52941176470588\\ \hline 14 &0.20245662683693 &0.35555555555556 &0.55852954242559 &0.074682598954444 &0.58823529411765\\ \hline 15 &0.69070996978852 &0 &0.34084851177255 &0.15608663181479 &0.029411764705882\\ \hline 16 &0.12584945008762 &0 &0.00011106175033318 &0.073935772964899 &0.11764705882353\\ \hline 17 &0.32403995599253 &0 &0.59184806752554 &0.12621359223301 &0\\ \hline 18 &0 &0.11111111111111 &0.24755664149267 &0.029126213592233 &0.11764705882353\\ \hline 19 &0.070025895554596 &0.44444444444444 &0.66959129275877 &0.10380881254668 &0.41176470588235\\ \hline 20 &0.45372150508102 &1 &0.94724566859174 &1 &1\\ \hline \end{array} $$

　　累加可以看成权重方向的模糊聚类。

　　当矩阵值$d_{x1} \geqslant d_{y1} 且d_{x2} \geqslant d_{y2} 且 d_{x3} \geqslant d_{y3} {\cdots}且d_{xm} \geqslant d_{ym}$

　　记作：$$ \quad \quad PS_{(x)}\geqslant PS_{(y)}$$

　　关系矩阵获得的方式如下两种可以任选一种：

　　$$a_{xy}= \begin{cases} 1, PS_{(x)} {\geqslant} PS_{(y)} \\ 0, \end{cases} $$

　　$$a_{xy}= \begin{cases} 1, PS_{(y)} \geqslant PS_{(x)} \\ 0, \end{cases}$$

　　以上两种，核心在于$\geqslant$的定义。

　　通过核对，可以验证原文的哈斯图就是上蹿形的哈斯图（箭头方向相反）。因此可以认定原文计算正确。

　　当然由于取偏序的规则有非常多种，只要有合理的数理逻辑就行。比如排序的顺序按照熵权法，而不是熵权可拓法，偏序取法的规则变化。此外原始数据对易自然的任何一组数据都是按照一个方向进行，这种都使得本文相对更简易的计算与分析。

　　总之，有向哈斯图的核心流程如下:

　$$　\require{cancel} \require{AMScd} \begin{CD} F=\left[ f_{ij} \right]_{n \times m}@>各种算法>>FuzzyMat=\left[ d_{ij} \right]_{n \times n}@>各种模糊算子>>FR=\left[ a_{ij} \right]_{n \times n}@>>>A=\left[ a_{ij} \right]_{n \times n} \\ \end{CD} $$

　　其中$FuzzyMat$为模糊方阵，它可以是偏序得到的结果。然后由模糊方阵，得到模糊可达矩阵，最终得到若干个层级图。

　　因此在原文给出其偏序的规则，以及层级的取法，该哈斯图有可能是对的，尤其其最后的矩阵存在着数据缺失，即矩阵值为零的情况。