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　　原文为岳立柱，张志杰，闫艳 蕴含权重的偏序集多准则决策法

　　岳立柱一文采用权重由大到小按照列重排，然后按列累加得到一个新的累加矩阵，对累加矩阵取偏序得到的哈斯图。行文逻辑如下：

　　1、按照布吕格曼 (Brüggemann)的方法提出了线性累加得到的累加矩阵为偏序规则得到的关系矩阵再画哈斯图的方法。这是一个新的方法。

　　2、证明了该方法。即$ \Gamma(x) \leq \Gamma(y) $ 该结论为，后来得到的哈斯图中的有向边，包含了原先哈斯图的有向边，因此具有保序性。

　　3、以邹志红，孙靖南，任广平． 模糊评价因子的熵权法赋权及其在水质评价中的应用一文中的数据为例子，运用两种取偏序的方法，说明累加取偏序后的优势地方。

　　岳立柱一文存在着一处明显的笔误，不过该错误并不影响理解。岳立柱一文居然把高锰酸盐指数(CODMn)写成了高锰酸盐(CODMu)这个笔误让学过化学的人受不了。

　　本文主要是验证该计算过程。

　　偏序维度说明

　　$$ \begin{array} {c|c|c}{标识代号} & 含义　　& 　代号　　 \\ \hline 1& \color{red}{溶解氧} & \color{blue}{DO} \\ \hline 2& \color{red}{高锰酸盐指数} & \color{blue}{ COD(Mn)} \\ \hline 3& \color{red}{化学耗氧量} & \color{blue}{ COD(Cr)} \\ \hline 4& \color{red}{五日生化耗氧量} & \color{blue}{ BOD(5) } \\ \hline 5& \color{red}{总磷} & \color{blue}{ TP } \\ \hline \end{array}$$

　　邹志红一文是以上述五个维度，即以列为单位，用极差法进行归一化。计算公式如下：

　　$$ X_{new}=\left| \frac{{X-X_{min}}}{{X_{max}-X_{min}}} \right| $$

　　得到的结果为：

　　当矩阵值$f_{x1} \geqslant f_{y1} 且f_{x2} \geqslant f_{y2} 且 f_{x3} \geqslant f_{y3} {\cdots}且f_{xm} \geqslant f_{ym}$

　　记作：$$ \quad \quad PS_{(x)}\geqslant PS_{(y)}$$

　　关系矩阵获得的方式如下两种可以任选一种：

　　$$a_{xy}= \begin{cases} 1, PS_{(x)} {\geqslant} PS_{(y)} \\ 0, \end{cases} $$

　　$$a_{xy}= \begin{cases} 1, PS_{(y)} \geqslant PS_{(x)} \\ 0, \end{cases}$$

　　以上两种，核心在于$\geqslant$的定义。即，模糊矩阵的任意两行$x,y$行，且$x \neq y$对应的任意一个值都是大于等于关系情况下，得到关系矩阵中对应的布尔值。

　　上面的哈斯图可以清晰的看出，存在着大量的孤立要素，只存着一条有向边。

　　采用熵权法获得每列的权重。这里只关注权重大小的顺序。权重的计算公式如下：

　　$1、 \rho _{ij}=\frac {x_{ij}} {\sum \limits_{i=1}^{n}{x_{ij}}}$

　　$2、 e_{j}=-k {\sum \limits_{i=1}^{n}{\rho _{ij}\times ln({\rho _{ij}}) } },(其中有 \quad k= \frac{1}{ln(13)}, 且 \quad 当 \rho _{ij}=0 时,令 \quad ln({\rho _{ij}})=-1000 )$

　　$3、 \quad 　d_{j}=1-e_{j} $

　　$4、 \quad \omega_{j}=\frac {d_{j}} {\sum \limits_{j=1}^{m}{d_{j}}} $

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{2 \times5}} &DO &COD(Mn) &COD(Cr) &BOD(5) &TP\\ \hline 权重 &0.20242033251912 &0.20240937033268 &0.24980163574874 &0.203437208832 &0.14193145256746\\ \hline 权重顺序 &3 &4 &1 &2 &5\\ \hline \end{array} $$

　　同邹志红按照熵权法计算结果对比，在小数点后第四位有区别，这个区别在于精度的取法导致，因此，邹志红一文熵权部分没有计算错误。

　　所谓的保序，即关系矩阵中依然留有模糊矩阵求得的关系矩阵中的有向边。

　　累加可以看成权重方向的模糊聚类。

　　偏序关系：

　　$$a_{xy}= \begin{cases} 1, \text{ $PS_{(x)}{\geqslant} PS_{(y)}$ 即D矩阵中x行跟y行的偏序比较} \\ 0, \text{非 $PS_{(x)}{\geqslant}PS_{(y)}$ 即D矩阵中x行跟y行的偏序比较} \end{cases}$$

　　由于值域范围，不会出现回路情况

　　观察两者的上蹿形式的哈斯图。

　　很显然$ \Gamma(x) \leq \Gamma(y)$成立。

　　即：盐码头到白沙的有向边在两个图中都存在，其顺序方向未变化。

　　模糊矩阵：

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{13 \times5}} &TP &COD(Mn) &DO &BOD(5) &COD(Cr)\\ \hline 白沙 &0.655 &0.593 &0.105 &1 &0.708\\ \hline 黄谦 &0.195 &0.593 &0.474 &0 &0.308\\ \hline 望龙门 &0 &0.519 &0.368 &0.579 &0.083\\ \hline 寸滩 &0.164 &0.481 &0.316 &0.526 &0\\ \hline 黄草峡 &0.425 &1 &0.316 &0.105 &0.125\\ \hline 鸭嘴石 &0.473 &0.222 &0.158 &0.368 &0.917\\ \hline 美女啧 &0.451 &0.333 &0.474 &0.474 &1\\ \hline 米市圈 &0.447 &0.593 &0.368 &0.263 &0.6\\ \hline 九条沟 &1 &0.111 &0.842 &0.158 &0.067\\ \hline 沱口 &0.451 &0 &0.632 &0.368 &0.683\\ \hline 红砂啧 &0.465 &0.111 &1 &0.368 &0.392\\ \hline 晒网坝 &0.429 &0.407 &0.947 &0.263 &0.333\\ \hline 盐码头 &0.429 &0.222 &0 &0.895 &0.642\\ \hline \end{array} $$

　　累加矩阵如下：

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{13 \times5}} &D1 &D2 &D3 &D4 &D5\\ \hline 白沙 &0.655 &1.248 &1.353 &2.353 &3.061\\ \hline 黄谦 &0.195 &0.788 &1.262 &1.262 &1.57\\ \hline 望龙门 &0 &0.519 &0.887 &1.466 &1.549\\ \hline 寸滩 &0.164 &0.645 &0.961 &1.487 &1.487\\ \hline 黄草峡 &0.425 &1.425 &1.741 &1.846 &1.971\\ \hline 鸭嘴石 &0.473 &0.695 &0.853 &1.221 &2.138\\ \hline 美女啧 &0.451 &0.784 &1.258 &1.732 &2.732\\ \hline 米市圈 &0.447 &1.04 &1.408 &1.671 &2.271\\ \hline 九条沟 &1 &1.111 &1.953 &2.111 &2.178\\ \hline 沱口 &0.451 &0.451 &1.083 &1.451 &2.134\\ \hline 红砂啧 &0.465 &0.576 &1.576 &1.944 &2.336\\ \hline 晒网坝 &0.429 &0.836 &1.783 &2.046 &2.379\\ \hline 盐码头 &0.429 &0.651 &0.651 &1.546 &2.188\\ \hline \end{array} $$

　　观察两次累加矩阵基于得到的上蹿形式的哈斯图跟非累加获得的哈斯图比较

　　很显然$ \Gamma(x) \leq \Gamma(y)$成立。

　　即：盐码头到白沙的有向边在两个图中都存在，其顺序方向未变化。

　　而按照权重递减获得的累加矩阵：$盐码头 \longrightarrow 白沙$删除了，因为它是被覆盖了，覆盖它的为$盐码头 \longrightarrow 美女啧 \longrightarrow 白沙$

　　通过总分来对方案或者样品进行排序比较是一个最常规的方法，其本质也是一种哈斯图法。

　　如：本例中按照13个横断面，对总分的偏序求哈斯图。

　　总分排序如下

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{13 \times1}} &总分\\ \hline 白沙 &3.061\\ \hline 黄谦 &1.57\\ \hline 望龙门 &1.549\\ \hline 寸滩 &1.487\\ \hline 黄草峡 &1.971\\ \hline 鸭嘴石 &2.138\\ \hline 美女啧 &2.732\\ \hline 米市圈 &2.271\\ \hline 九条沟 &2.178\\ \hline 沱口 &2.134\\ \hline 红砂啧 &2.336\\ \hline 晒网坝 &2.379\\ \hline 盐码头 &2.188\\ \hline \end{array} $$$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{13 \times13}} &白沙 &黄谦 &望龙门 &寸滩 &黄草峡 &鸭嘴石 &美女啧 &米市圈 &九条沟 &沱口 &红砂啧 &晒网坝 &盐码头\\ \hline 白沙 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline 黄谦 &1 &0 &0 &0 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 望龙门 &1 &1 &0 &0 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 寸滩 &1 &1 &1 &0 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 黄草峡 &1 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 鸭嘴石 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &1 &0 &1 &1 &1\\ \hline 美女啧 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline 米市圈 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &1 &1 &0\\ \hline 九条沟 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0 &0 &1 &1 &1\\ \hline 沱口 &1 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1 &1\\ \hline 红砂啧 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &1 &0\\ \hline 晒网坝 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline 盐码头 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0 &0 &1 &1 &0\\ \hline \end{array} $$

可达矩阵如下

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$$R=\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{13 \times13}} &白沙 &黄谦 &望龙门 &寸滩 &黄草峡 &鸭嘴石 &美女啧 &米市圈 &九条沟 &沱口 &红砂啧 &晒网坝 &盐码头\\ \hline 白沙 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline 黄谦 &1 &1 &0 &0 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 望龙门 &1 &1 &1 &0 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 寸滩 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 黄草峡 &1 &0 &0 &0 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 鸭嘴石 &1 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1 &1\\ \hline 美女啧 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline 米市圈 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0 &0 &1 &1 &0\\ \hline 九条沟 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &1 &0 &1 &1 &1\\ \hline 沱口 &1 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 红砂啧 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &1 &1 &0\\ \hline 晒网坝 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &1 &0\\ \hline 盐码头 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0 &0 &1 &1 &1\\ \hline \end{array} $$

哈斯矩阵即骨架矩阵

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$$HS=\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{13 \times13}} &白沙 &黄谦 &望龙门 &寸滩 &黄草峡 &鸭嘴石 &美女啧 &米市圈 &九条沟 &沱口 &红砂啧 &晒网坝 &盐码头\\ \hline 白沙 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline 黄谦 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline 望龙门 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline 寸滩 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline 黄草峡 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0\\ \hline 鸭嘴石 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0\\ \hline 美女啧 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline 米市圈 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0\\ \hline 九条沟 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1\\ \hline 沱口 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline 红砂啧 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0\\ \hline 晒网坝 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline 盐码头 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline \end{array} $$

上蹿形式的哈斯图

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　　画哈斯图，核心是基于偏序，这个偏序是什么。再通俗一点讲，就是列的含义。

　　本文用了4个偏序的方法。

　　核心流程也可以如下:

　　1、直接对五个维度求偏序，认为五个维度之间完全没有关系求关系矩阵

　　2、对累加矩阵的五个维度求偏序，这五个维度跟第一种的五个维度的含义不同，但是求出的偏序具有包含性，即保序性。

　　3、对累加矩阵的五个维度求偏序，这五个维度跟第二种的五个维度的含义只有一个列的含义是相同的，针对第一种情况它依然具有保序性。

　　4、对1个维度求偏序，其特征是一条棍子，即长的直链。

　　画的哈斯图都是采用上蹿形式的哈斯图，这个也是经典ISM中的基于结果优先的菊花链画法。