可达矩阵的四种求解方法：自乘，幂乘，Warshall转移闭包法、一次性Warshall法

~
计算方式
优缺点
自乘法

第一步：求出自乘矩阵。

第二步：相乘矩阵，乘以相乘矩阵，就是进行布尔积（Boolean Product）⊙运算。

第三步：自乘矩阵一直乘下去。

最后：得到的矩阵不再变化时，该矩阵就叫可达矩阵。

优点：数学表达式简单，好理解。通常计算都是用这种方法，大部分教科书也是用的这种方法。

缺点：运算慢。矩阵的布尔积运算次数多！
幂乘法

第一步：求出自乘矩阵。

第二步：相乘矩阵，乘以相乘矩阵，就是进行布尔积（Boolean Product）⊙运算。

第三步：得到的矩阵称之为幂矩阵，幂矩阵再相乘，一直这样平方下去。

最后：得到的矩阵不再变化时，该矩阵就叫可达矩阵。

优点：数学表达式简单，好理解。

缺点：运算慢。矩阵的布尔积运算次数多！

另外一个由于幂矩阵中的为1的值相对较多。其实际运算速度不一定就比自乘法快，虽然其，矩阵乘法运算次数相对于自乘法要少！
Warshall法

第一步：求出自乘矩阵。

第二步：相乘矩阵，得到转移矩阵。

第三步：转移矩阵的相对于自乘矩阵的转移矩阵，一直循环。

最后：得到的矩阵不再变化时，该矩阵就叫可达矩阵。

优点：运算速度中等。

缺点：稍微有点难理解！
改进Warshall法

第一步：求出自乘矩阵。

第二步：相乘矩阵，得到转移矩阵。

第三步：转移矩阵的转移矩阵，一直循环。

最后：得到的矩阵不再变化时，该矩阵就叫可达矩阵。

优点：运算速度中等。

缺点：稍微有点难理解！
一次性Warshall法

第一步：根据原始矩阵求出所有的强连通分量

第二步：根据强连通分量得到的是一个良好拓扑排序的矩阵

第三步：从上到下，进行一次Warshall运算就得到了可达矩阵。

优点：运算速度得到数量级的提高。

缺点：难理解！

在矩阵对角线下一个对角线上全部输入1，只要一次Wallshall就可以得出可达矩阵！



可达矩阵如下


$$R=\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{8 \times8}} &F1 &F2 &F3 &F4 &F5 &F6 &F7 &F8\\ \hline F1 &1 &1 & & &1 & &1 &1\\ \hline F2 &1 &1 & & &1 & &1 &1\\ \hline F3 &1 &1 &1 & &1 & &1 &1\\ \hline F4 &1 &1 & &1 &1 & &1 &1\\ \hline F5 &1 &1 & & &1 & &1 &1\\ \hline F6 & & & & & &1 & &1\\ \hline F7 &1 &1 & & &1 & &1 &1\\ \hline F8 & & & & & & & &1\\ \hline \end{array} $$

矩阵的表示形式


   F1F2F3F4F5F6F7F8
F1    1       1    1   
F2             1       1
F3 1                     
F4 1                     
F5 1                     
F6                      1
F7    1                  
F8                        

矩阵的表示形式


原始矩阵 可达矩阵
   F1F2F3F4F5F6F7F8
F1    1       1    1   
F2             1       1
F3 1                     
F4 1                     
F5 1                     
F6                      1
F7    1                  
F8                        
   F1F2F3F4F5F6F7F8
F1 1 1       1    1 1
F2 1 1       1    1 1
F3 1 1 1    1    1 1
F4 1 1    1 1    1 1
F5 1 1       1    1 1
F6                1    1
F7 1 1       1    1 1
F8                      1

可达矩阵的求解,其中其中快速（迭代）Warshall的转移闭包与逼近的可达矩阵的速度最快

矩阵相乘的次数 相乘矩阵自乘的方法 幂乘的方法 快速Warshall转移法
1
   F1F2F3F4F5F6F7F8
F1 1 1       1    1   
F2    1       1       1
F3 1    1               
F4 1       1            
F5 1          1         
F6                1    1
F7    1             1   
F8                      1
   F1F2F3F4F5F6F7F8
F1 1 1       1    1   
F2    1       1       1
F3 1    1               
F4 1       1            
F5 1          1         
F6                1    1
F7    1             1   
F8                      1
   F1F2F3F4F5F6F7F8
F1 1 1       1    1   
F2    1       1       1
F3 1    1               
F4 1       1            
F5 1          1         
F6                1    1
F7    1             1   
F8                      1
2
   F1F2F3F4F5F6F7F8
F1 1 1       1    1 1
F2 1 1       1       1
F3 1 1 1    1    1   
F4 1 1    1 1    1   
F5 1 1       1    1   
F6                1    1
F7    1       1    1 1
F8                      1
   F1F2F3F4F5F6F7F8
F1 1 1       1    1 1
F2 1 1       1       1
F3 1 1 1    1    1   
F4 1 1    1 1    1   
F5 1 1       1    1   
F6                1    1
F7    1       1    1 1
F8                      1
   F1F2F3F4F5F6F7F8
F1 1 1       1    1 1
F2 1 1       1       1
F3 1 1 1    1    1 1
F4 1 1    1 1    1 1
F5 1 1       1    1 1
F6                1    1
F7 1 1       1    1 1
F8                      1
3
   F1F2F3F4F5F6F7F8
F1 1 1       1    1 1
F2 1 1       1    1 1
F3 1 1 1    1    1 1
F4 1 1    1 1    1 1
F5 1 1       1    1 1
F6                1    1
F7 1 1       1    1 1
F8                      1
   F1F2F3F4F5F6F7F8
F1 1 1       1    1 1
F2 1 1       1    1 1
F3 1 1 1    1    1 1
F4 1 1    1 1    1 1
F5 1 1       1    1 1
F6                1    1
F7 1 1       1    1 1
F8                      1
   F1F2F3F4F5F6F7F8
F1 1 1       1    1 1
F2 1 1       1    1 1
F3 1 1 1    1    1 1
F4 1 1    1 1    1 1
F5 1 1       1    1 1
F6                1    1
F7 1 1       1    1 1
F8                      1
4
   F1F2F3F4F5F6F7F8
F1 1 1       1    1 1
F2 1 1       1    1 1
F3 1 1 1    1    1 1
F4 1 1    1 1    1 1
F5 1 1       1    1 1
F6                1    1
F7 1 1       1    1 1
F8                      1
   F1F2F3F4F5F6F7F8
F1 1 1       1    1 1
F2 1 1       1    1 1
F3 1 1 1    1    1 1
F4 1 1    1 1    1 1
F5 1 1       1    1 1
F6                1    1
F7 1 1       1    1 1
F8                      1
   F1F2F3F4F5F6F7F8
F1 1 1       1    1 1
F2 1 1       1    1 1
F3 1 1 1    1    1 1
F4 1 1    1 1    1 1
F5 1 1       1    1 1
F6                1    1
F7 1 1       1    1 1
F8                      1

逐次平法法进行布尔乘积的次数虽然要少于自乘的方式，但是由于中间矩阵中值为1的个数更多，所以整个获得可达矩阵的时间效率上来说，它不一定快，甚至更慢！，只有改进为集合求解方式，其效率会大大加快


下图为它们的可达集合标记法，链表标识方式

矩阵相乘的次数 相乘矩阵自乘的方法 幂乘的方法 快速Warshall转移法
1
F1 F1、F2、F5、F7、
F2 F2、F5、F8、
F3 F1、F3、
F4 F1、F4、
F5 F1、F5、
F6 F6、F8、
F7 F2、F7、
F8 F8、
F1 F1、F2、F5、F7、
F2 F2、F5、F8、
F3 F1、F3、
F4 F1、F4、
F5 F1、F5、
F6 F6、F8、
F7 F2、F7、
F8 F8、
F1 F1、F2、F5、F7、
F2 F2、F5、F8、
F3 F1、F3、
F4 F1、F4、
F5 F1、F5、
F6 F6、F8、
F7 F2、F7、
F8 F8、
2
F1 F1、F2、F5、F7、F8、
F2 F1、F2、F5、F8、
F3 F1、F2、F3、F5、F7、
F4 F1、F2、F4、F5、F7、
F5 F1、F2、F5、F7、
F6 F6、F8、
F7 F2、F5、F7、F8、
F8 F8、
F1 F1、F2、F5、F7、F8、
F2 F1、F2、F5、F8、
F3 F1、F2、F3、F5、F7、
F4 F1、F2、F4、F5、F7、
F5 F1、F2、F5、F7、
F6 F6、F8、
F7 F2、F5、F7、F8、
F8 F8、
F1 F1、F2、F5、F7、F8、
F2 F1、F2、F5、F8、
F3 F1、F2、F3、F5、F7、F8、
F4 F1、F2、F4、F5、F7、F8、
F5 F1、F2、F5、F7、F8、
F6 F6、F8、
F7 F1、F2、F5、F7、F8、
F8 F8、
3
F1 F1、F2、F5、F7、F8、
F2 F1、F2、F5、F7、F8、
F3 F1、F2、F3、F5、F7、F8、
F4 F1、F2、F4、F5、F7、F8、
F5 F1、F2、F5、F7、F8、
F6 F6、F8、
F7 F1、F2、F5、F7、F8、
F8 F8、
F1 F1、F2、F5、F7、F8、
F2 F1、F2、F5、F7、F8、
F3 F1、F2、F3、F5、F7、F8、
F4 F1、F2、F4、F5、F7、F8、
F5 F1、F2、F5、F7、F8、
F6 F6、F8、
F7 F1、F2、F5、F7、F8、
F8 F8、
F1 F1、F2、F5、F7、F8、
F2 F1、F2、F5、F7、F8、
F3 F1、F2、F3、F5、F7、F8、
F4 F1、F2、F4、F5、F7、F8、
F5 F1、F2、F5、F7、F8、
F6 F6、F8、
F7 F1、F2、F5、F7、F8、
F8 F8、
4
F1 F1、F2、F5、F7、F8、
F2 F1、F2、F5、F7、F8、
F3 F1、F2、F3、F5、F7、F8、
F4 F1、F2、F4、F5、F7、F8、
F5 F1、F2、F5、F7、F8、
F6 F6、F8、
F7 F1、F2、F5、F7、F8、
F8 F8、
F1 F1、F2、F5、F7、F8、
F2 F1、F2、F5、F7、F8、
F3 F1、F2、F3、F5、F7、F8、
F4 F1、F2、F4、F5、F7、F8、
F5 F1、F2、F5、F7、F8、
F6 F6、F8、
F7 F1、F2、F5、F7、F8、
F8 F8、
F1 F1、F2、F5、F7、F8、
F2 F1、F2、F5、F7、F8、
F3 F1、F2、F3、F5、F7、F8、
F4 F1、F2、F4、F5、F7、F8、
F5 F1、F2、F5、F7、F8、
F6 F6、F8、
F7 F1、F2、F5、F7、F8、
F8 F8、

比较求解过程中每一步矩阵值与上一个矩阵的变化


矩阵相乘的次数 相乘矩阵自乘的方法 逐次平方法 快速转移法，Warshall快速转移
1
   F1F2F3F4F5F6F7F8
F1 1 1       1    1   
F2    1       1       1
F3 1    1               
F4 1       1            
F5 1          1         
F6                1    1
F7    1             1   
F8                      1
   F1F2F3F4F5F6F7F8
F1 1 1       1    1   
F2    1       1       1
F3 1    1               
F4 1       1            
F5 1          1         
F6                1    1
F7    1             1   
F8                      1
   F1F2F3F4F5F6F7F8
F1 1 1       1    1   
F2    1       1       1
F3 1    1               
F4 1       1            
F5 1          1         
F6                1    1
F7    1             1   
F8                      1
2
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8
F1 11 　 　 1 　 11
F2 1 1 　 　 1 　 　 1
F3 11 1 　 1 　 1 　
F4 11 　 11 　 1 　
F5 11 　 　 1 　 1 　
F6 　 　 　 　 　 1 　 1
F7 　 1 　 　 1 　 11
F8 　 　 　 　 　 　 　 1
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8
F1 11 　 　 1 　 11
F2 1 1 　 　 1 　 　 1
F3 11 1 　 1 　 1 　
F4 11 　 11 　 1 　
F5 11 　 　 1 　 1 　
F6 　 　 　 　 　 1 　 1
F7 　 1 　 　 1 　 11
F8 　 　 　 　 　 　 　 1
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8
F1 11 　 　 1 　 11
F2 1 1 　 　 1 　 　 1
F3 11 1 　 1 　 1 1
F4 11 　 11 　 1 1
F5 11 　 　 1 　 1 1
F6 　 　 　 　 　 1 　 1
F7 1 1 　 　 1 　 11
F8 　 　 　 　 　 　 　 1
3
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8
F1 11 　 　 1 　 11
F2 11 　 　 1 　 1 1
F3 111 　 1 　 11
F4 11 　 11 　 11
F5 11 　 　 1 　 11
F6 　 　 　 　 　 1 　 1
F7 1 1 　 　 1 　 11
F8 　 　 　 　 　 　 　 1
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8
F1 11 　 　 1 　 11
F2 11 　 　 1 　 1 1
F3 111 　 1 　 11
F4 11 　 11 　 11
F5 11 　 　 1 　 11
F6 　 　 　 　 　 1 　 1
F7 1 1 　 　 1 　 11
F8 　 　 　 　 　 　 　 1
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8
F1 11 　 　 1 　 11
F2 11 　 　 1 　 1 1
F3 111 　 1 　 11
F4 11 　 11 　 11
F5 11 　 　 1 　 11
F6 　 　 　 　 　 1 　 1
F7 11 　 　 1 　 11
F8 　 　 　 　 　 　 　 1
4
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8
F1 11 　 　 1 　 11
F2 11 　 　 1 　 11
F3 111 　 1 　 11
F4 11 　 11 　 11
F5 11 　 　 1 　 11
F6 　 　 　 　 　 1 　 1
F7 11 　 　 1 　 11
F8 　 　 　 　 　 　 　 1
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8
F1 11 　 　 1 　 11
F2 11 　 　 1 　 11
F3 111 　 1 　 11
F4 11 　 11 　 11
F5 11 　 　 1 　 11
F6 　 　 　 　 　 1 　 1
F7 11 　 　 1 　 11
F8 　 　 　 　 　 　 　 1
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8
F1 11 　 　 1 　 11
F2 11 　 　 1 　 11
F3 111 　 1 　 11
F4 11 　 11 　 11
F5 11 　 　 1 　 11
F6 　 　 　 　 　 1 　 1
F7 11 　 　 1 　 11
F8 　 　 　 　 　 　 　 1

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