可达矩阵的四种求解方法：自乘，幂乘，Warshall转移闭包法、一次性Warshall法

~
计算方式
优缺点
自乘法

第一步：求出自乘矩阵。

第二步：相乘矩阵，乘以相乘矩阵，就是进行布尔积（Boolean Product）⊙运算。

第三步：自乘矩阵一直乘下去。

最后：得到的矩阵不再变化时，该矩阵就叫可达矩阵。

优点：数学表达式简单，好理解。通常计算都是用这种方法，大部分教科书也是用的这种方法。

缺点：运算慢。矩阵的布尔积运算次数多！
幂乘法

第一步：求出自乘矩阵。

第二步：相乘矩阵，乘以相乘矩阵，就是进行布尔积（Boolean Product）⊙运算。

第三步：得到的矩阵称之为幂矩阵，幂矩阵再相乘，一直这样平方下去。

最后：得到的矩阵不再变化时，该矩阵就叫可达矩阵。

优点：数学表达式简单，好理解。

缺点：运算慢。矩阵的布尔积运算次数多！

另外一个由于幂矩阵中的为1的值相对较多。其实际运算速度不一定就比自乘法快，虽然其，矩阵乘法运算次数相对于自乘法要少！
Warshall法

第一步：求出自乘矩阵。

第二步：相乘矩阵，得到转移矩阵。

第三步：转移矩阵的相对于自乘矩阵的转移矩阵，一直循环。

最后：得到的矩阵不再变化时，该矩阵就叫可达矩阵。

优点：运算速度中等。

缺点：稍微有点难理解！
改进Warshall法

第一步：求出自乘矩阵。

第二步：相乘矩阵，得到转移矩阵。

第三步：转移矩阵的转移矩阵，一直循环。

最后：得到的矩阵不再变化时，该矩阵就叫可达矩阵。

优点：运算速度中等。

缺点：稍微有点难理解！
一次性Warshall法

第一步：根据原始矩阵求出所有的强连通分量

第二步：根据强连通分量得到的是一个良好拓扑排序的矩阵

第三步：从上到下，进行一次Warshall运算就得到了可达矩阵。

优点：运算速度得到数量级的提高。

缺点：难理解！

在矩阵对角线下一个对角线上全部输入1，只要一次Wallshall就可以得出可达矩阵！



可达矩阵如下


$$R=\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{8 \times8}} &E1 &E2 &E3 &E4 &E5 &E6 &E7 &E8\\ \hline E1 &1 & &1 &1 & &1 &1 &1\\ \hline E2 & &1 &1 &1 &1 &1 & &1\\ \hline E3 & & &1 &1 & &1 & &1\\ \hline E4 & & &1 &1 & &1 & &1\\ \hline E5 & &1 &1 &1 &1 &1 & &1\\ \hline E6 & & &1 &1 & &1 & &1\\ \hline E7 & & &1 &1 & &1 &1 &1\\ \hline E8 & & &1 &1 & &1 & &1\\ \hline \end{array} $$

矩阵的表示形式


   E1E2E3E4E5E6E7E8
E1                1 1   
E2             1         
E3                1      
E4       1               
E5    1          1      
E6                      1
E7                1      
E8          1            

矩阵的表示形式


原始矩阵 可达矩阵
   E1E2E3E4E5E6E7E8
E1                1 1   
E2             1         
E3                1      
E4       1               
E5    1          1      
E6                      1
E7                1      
E8          1            
   E1E2E3E4E5E6E7E8
E1 1    1 1    1 1 1
E2    1 1 1 1 1    1
E3       1 1    1    1
E4       1 1    1    1
E5    1 1 1 1 1    1
E6       1 1    1    1
E7       1 1    1 1 1
E8       1 1    1    1

可达矩阵的求解,其中其中快速（迭代）Warshall的转移闭包与逼近的可达矩阵的速度最快

矩阵相乘的次数 相乘矩阵自乘的方法 幂乘的方法 快速Warshall转移法
1
   E1E2E3E4E5E6E7E8
E1 1             1 1   
E2    1       1         
E3       1       1      
E4       1 1            
E5    1       1 1      
E6                1    1
E7                1 1   
E8          1          1
   E1E2E3E4E5E6E7E8
E1 1             1 1   
E2    1       1         
E3       1       1      
E4       1 1            
E5    1       1 1      
E6                1    1
E7                1 1   
E8          1          1
   E1E2E3E4E5E6E7E8
E1 1             1 1   
E2    1       1         
E3       1       1      
E4       1 1            
E5    1       1 1      
E6                1    1
E7                1 1   
E8          1          1
2
   E1E2E3E4E5E6E7E8
E1 1             1 1 1
E2    1       1 1      
E3       1       1    1
E4       1 1    1      
E5    1       1 1    1
E6          1    1    1
E7                1 1 1
E8       1 1          1
   E1E2E3E4E5E6E7E8
E1 1             1 1 1
E2    1       1 1      
E3       1       1    1
E4       1 1    1      
E5    1       1 1    1
E6          1    1    1
E7                1 1 1
E8       1 1          1
   E1E2E3E4E5E6E7E8
E1 1             1 1 1
E2    1       1 1      
E3       1       1    1
E4       1 1    1    1
E5    1       1 1    1
E6          1    1    1
E7          1    1 1 1
E8       1 1    1    1
3
   E1E2E3E4E5E6E7E8
E1 1       1    1 1 1
E2    1       1 1    1
E3       1 1    1    1
E4       1 1    1    1
E5    1    1 1 1    1
E6       1 1    1    1
E7          1    1 1 1
E8       1 1    1    1
   E1E2E3E4E5E6E7E8
E1 1    1 1    1 1 1
E2    1    1 1 1    1
E3       1 1    1    1
E4       1 1    1    1
E5    1 1 1 1 1    1
E6       1 1    1    1
E7       1 1    1 1 1
E8       1 1    1    1
   E1E2E3E4E5E6E7E8
E1 1    1 1    1 1 1
E2    1    1 1 1    1
E3       1 1    1    1
E4       1 1    1    1
E5    1 1 1 1 1    1
E6       1 1    1    1
E7       1 1    1 1 1
E8       1 1    1    1
4
   E1E2E3E4E5E6E7E8
E1 1    1 1    1 1 1
E2    1    1 1 1    1
E3       1 1    1    1
E4       1 1    1    1
E5    1 1 1 1 1    1
E6       1 1    1    1
E7       1 1    1 1 1
E8       1 1    1    1
   E1E2E3E4E5E6E7E8
E1 1    1 1    1 1 1
E2    1 1 1 1 1    1
E3       1 1    1    1
E4       1 1    1    1
E5    1 1 1 1 1    1
E6       1 1    1    1
E7       1 1    1 1 1
E8       1 1    1    1
   E1E2E3E4E5E6E7E8
E1 1    1 1    1 1 1
E2    1 1 1 1 1    1
E3       1 1    1    1
E4       1 1    1    1
E5    1 1 1 1 1    1
E6       1 1    1    1
E7       1 1    1 1 1
E8       1 1    1    1
5
   E1E2E3E4E5E6E7E8
E1 1    1 1    1 1 1
E2    1 1 1 1 1    1
E3       1 1    1    1
E4       1 1    1    1
E5    1 1 1 1 1    1
E6       1 1    1    1
E7       1 1    1 1 1
E8       1 1    1    1
   E1E2E3E4E5E6E7E8
E1 1    1 1    1 1 1
E2    1 1 1 1 1    1
E3       1 1    1    1
E4       1 1    1    1
E5    1 1 1 1 1    1
E6       1 1    1    1
E7       1 1    1 1 1
E8       1 1    1    1
   E1E2E3E4E5E6E7E8
E1 1    1 1    1 1 1
E2    1 1 1 1 1    1
E3       1 1    1    1
E4       1 1    1    1
E5    1 1 1 1 1    1
E6       1 1    1    1
E7       1 1    1 1 1
E8       1 1    1    1
6
   E1E2E3E4E5E6E7E8
E1 1    1 1    1 1 1
E2    1 1 1 1 1    1
E3       1 1    1    1
E4       1 1    1    1
E5    1 1 1 1 1    1
E6       1 1    1    1
E7       1 1    1 1 1
E8       1 1    1    1

逐次平法法进行布尔乘积的次数虽然要少于自乘的方式，但是由于中间矩阵中值为1的个数更多，所以整个获得可达矩阵的时间效率上来说，它不一定快，甚至更慢！，只有改进为集合求解方式，其效率会大大加快


下图为它们的可达集合标记法，链表标识方式

矩阵相乘的次数 相乘矩阵自乘的方法 幂乘的方法 快速Warshall转移法
1
E1 E1、E6、E7、
E2 E2、E5、
E3 E3、E6、
E4 E3、E4、
E5 E2、E5、E6、
E6 E6、E8、
E7 E6、E7、
E8 E4、E8、
E1 E1、E6、E7、
E2 E2、E5、
E3 E3、E6、
E4 E3、E4、
E5 E2、E5、E6、
E6 E6、E8、
E7 E6、E7、
E8 E4、E8、
E1 E1、E6、E7、
E2 E2、E5、
E3 E3、E6、
E4 E3、E4、
E5 E2、E5、E6、
E6 E6、E8、
E7 E6、E7、
E8 E4、E8、
2
E1 E1、E6、E7、E8、
E2 E2、E5、E6、
E3 E3、E6、E8、
E4 E3、E4、E6、
E5 E2、E5、E6、E8、
E6 E4、E6、E8、
E7 E6、E7、E8、
E8 E3、E4、E8、
E1 E1、E6、E7、E8、
E2 E2、E5、E6、
E3 E3、E6、E8、
E4 E3、E4、E6、
E5 E2、E5、E6、E8、
E6 E4、E6、E8、
E7 E6、E7、E8、
E8 E3、E4、E8、
E1 E1、E6、E7、E8、
E2 E2、E5、E6、
E3 E3、E6、E8、
E4 E3、E4、E6、E8、
E5 E2、E5、E6、E8、
E6 E4、E6、E8、
E7 E4、E6、E7、E8、
E8 E3、E4、E6、E8、
3
E1 E1、E4、E6、E7、E8、
E2 E2、E5、E6、E8、
E3 E3、E4、E6、E8、
E4 E3、E4、E6、E8、
E5 E2、E4、E5、E6、E8、
E6 E3、E4、E6、E8、
E7 E4、E6、E7、E8、
E8 E3、E4、E6、E8、
E1 E1、E3、E4、E6、E7、E8、
E2 E2、E4、E5、E6、E8、
E3 E3、E4、E6、E8、
E4 E3、E4、E6、E8、
E5 E2、E3、E4、E5、E6、E8、
E6 E3、E4、E6、E8、
E7 E3、E4、E6、E7、E8、
E8 E3、E4、E6、E8、
E1 E1、E3、E4、E6、E7、E8、
E2 E2、E4、E5、E6、E8、
E3 E3、E4、E6、E8、
E4 E3、E4、E6、E8、
E5 E2、E3、E4、E5、E6、E8、
E6 E3、E4、E6、E8、
E7 E3、E4、E6、E7、E8、
E8 E3、E4、E6、E8、
4
E1 E1、E3、E4、E6、E7、E8、
E2 E2、E4、E5、E6、E8、
E3 E3、E4、E6、E8、
E4 E3、E4、E6、E8、
E5 E2、E3、E4、E5、E6、E8、
E6 E3、E4、E6、E8、
E7 E3、E4、E6、E7、E8、
E8 E3、E4、E6、E8、
E1 E1、E3、E4、E6、E7、E8、
E2 E2、E3、E4、E5、E6、E8、
E3 E3、E4、E6、E8、
E4 E3、E4、E6、E8、
E5 E2、E3、E4、E5、E6、E8、
E6 E3、E4、E6、E8、
E7 E3、E4、E6、E7、E8、
E8 E3、E4、E6、E8、
E1 E1、E3、E4、E6、E7、E8、
E2 E2、E3、E4、E5、E6、E8、
E3 E3、E4、E6、E8、
E4 E3、E4、E6、E8、
E5 E2、E3、E4、E5、E6、E8、
E6 E3、E4、E6、E8、
E7 E3、E4、E6、E7、E8、
E8 E3、E4、E6、E8、
5
E1 E1、E3、E4、E6、E7、E8、
E2 E2、E3、E4、E5、E6、E8、
E3 E3、E4、E6、E8、
E4 E3、E4、E6、E8、
E5 E2、E3、E4、E5、E6、E8、
E6 E3、E4、E6、E8、
E7 E3、E4、E6、E7、E8、
E8 E3、E4、E6、E8、
E1 E1、E3、E4、E6、E7、E8、
E2 E2、E3、E4、E5、E6、E8、
E3 E3、E4、E6、E8、
E4 E3、E4、E6、E8、
E5 E2、E3、E4、E5、E6、E8、
E6 E3、E4、E6、E8、
E7 E3、E4、E6、E7、E8、
E8 E3、E4、E6、E8、
E1 E1、E3、E4、E6、E7、E8、
E2 E2、E3、E4、E5、E6、E8、
E3 E3、E4、E6、E8、
E4 E3、E4、E6、E8、
E5 E2、E3、E4、E5、E6、E8、
E6 E3、E4、E6、E8、
E7 E3、E4、E6、E7、E8、
E8 E3、E4、E6、E8、
6
E1 E1、E3、E4、E6、E7、E8、
E2 E2、E3、E4、E5、E6、E8、
E3 E3、E4、E6、E8、
E4 E3、E4、E6、E8、
E5 E2、E3、E4、E5、E6、E8、
E6 E3、E4、E6、E8、
E7 E3、E4、E6、E7、E8、
E8 E3、E4、E6、E8、

比较求解过程中每一步矩阵值与上一个矩阵的变化


矩阵相乘的次数 相乘矩阵自乘的方法 逐次平方法 快速转移法，Warshall快速转移
1
   E1E2E3E4E5E6E7E8
E1 1             1 1   
E2    1       1         
E3       1       1      
E4       1 1            
E5    1       1 1      
E6                1    1
E7                1 1   
E8          1          1
   E1E2E3E4E5E6E7E8
E1 1             1 1   
E2    1       1         
E3       1       1      
E4       1 1            
E5    1       1 1      
E6                1    1
E7                1 1   
E8          1          1
   E1E2E3E4E5E6E7E8
E1 1             1 1   
E2    1       1         
E3       1       1      
E4       1 1            
E5    1       1 1      
E6                1    1
E7                1 1   
E8          1          1
2
E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8
E1 1 　 　 　 　 111
E2 　 1 　 　 11 　 　
E3 　 　 1 　 　 1 　 1
E4 　 　 11 　 1 　 　
E5 　 1 　 　 11 　 1
E6 　 　 　 1 　 1 　 1
E7 　 　 　 　 　 111
E8 　 　 1 1 　 　 　 1
E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8
E1 1 　 　 　 　 111
E2 　 1 　 　 11 　 　
E3 　 　 1 　 　 1 　 1
E4 　 　 11 　 1 　 　
E5 　 1 　 　 11 　 1
E6 　 　 　 1 　 1 　 1
E7 　 　 　 　 　 111
E8 　 　 1 1 　 　 　 1
E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8
E1 1 　 　 　 　 111
E2 　 1 　 　 11 　 　
E3 　 　 1 　 　 1 　 1
E4 　 　 11 　 1 　 1
E5 　 1 　 　 11 　 1
E6 　 　 　 1 　 1 　 1
E7 　 　 　 1 　 111
E8 　 　 1 1 　 1 　 1
3
E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8
E1 1 　 　 1 　 111
E2 　 1 　 　 11 　 1
E3 　 　 11 　 1 　 1
E4 　 　 11 　 1 　 1
E5 　 1 　 1 11 　 1
E6 　 　 1 1 　 1 　 1
E7 　 　 　 1 　 111
E8 　 　 11 　 1 　 1
E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8
E1 1 　 1 1 　 111
E2 　 1 　 1 11 　 1
E3 　 　 11 　 1 　 1
E4 　 　 11 　 1 　 1
E5 　 11 1 11 　 1
E6 　 　 1 1 　 1 　 1
E7 　 　 1 1 　 111
E8 　 　 11 　 1 　 1
E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8
E1 1 　 1 1 　 111
E2 　 1 　 1 11 　 1
E3 　 　 11 　 1 　 1
E4 　 　 11 　 1 　 1
E5 　 11 1 11 　 1
E6 　 　 1 1 　 1 　 1
E7 　 　 1 1 　 111
E8 　 　 11 　 1 　 1
4
E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8
E1 1 　 1 1 　 111
E2 　 1 　 1 11 　 1
E3 　 　 11 　 1 　 1
E4 　 　 11 　 1 　 1
E5 　 11 111 　 1
E6 　 　 11 　 1 　 1
E7 　 　 1 1 　 111
E8 　 　 11 　 1 　 1
E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8
E1 1 　 11 　 111
E2 　 11 111 　 1
E3 　 　 11 　 1 　 1
E4 　 　 11 　 1 　 1
E5 　 11111 　 1
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