可达矩阵的四种求解方法：自乘，幂乘，Warshall转移闭包法、一次性Warshall法

~
计算方式
优缺点
自乘法

第一步：求出自乘矩阵。

第二步：相乘矩阵，乘以相乘矩阵，就是进行布尔积（Boolean Product）⊙运算。

第三步：自乘矩阵一直乘下去。

最后：得到的矩阵不再变化时，该矩阵就叫可达矩阵。

优点：数学表达式简单，好理解。通常计算都是用这种方法，大部分教科书也是用的这种方法。

缺点：运算慢。矩阵的布尔积运算次数多！
幂乘法

第一步：求出自乘矩阵。

第二步：相乘矩阵，乘以相乘矩阵，就是进行布尔积（Boolean Product）⊙运算。

第三步：得到的矩阵称之为幂矩阵，幂矩阵再相乘，一直这样平方下去。

最后：得到的矩阵不再变化时，该矩阵就叫可达矩阵。

优点：数学表达式简单，好理解。

缺点：运算慢。矩阵的布尔积运算次数多！

另外一个由于幂矩阵中的为1的值相对较多。其实际运算速度不一定就比自乘法快，虽然其，矩阵乘法运算次数相对于自乘法要少！
Warshall法

第一步：求出自乘矩阵。

第二步：相乘矩阵，得到转移矩阵。

第三步：转移矩阵的相对于自乘矩阵的转移矩阵，一直循环。

最后：得到的矩阵不再变化时，该矩阵就叫可达矩阵。

优点：运算速度中等。

缺点：稍微有点难理解！
改进Warshall法

第一步：求出自乘矩阵。

第二步：相乘矩阵，得到转移矩阵。

第三步：转移矩阵的转移矩阵，一直循环。

最后：得到的矩阵不再变化时，该矩阵就叫可达矩阵。

优点：运算速度中等。

缺点：稍微有点难理解！
一次性Warshall法

第一步：根据原始矩阵求出所有的强连通分量

第二步：根据强连通分量得到的是一个良好拓扑排序的矩阵

第三步：从上到下，进行一次Warshall运算就得到了可达矩阵。

优点：运算速度得到数量级的提高。

缺点：难理解！

在矩阵对角线下一个对角线上全部输入1，只要一次Wallshall就可以得出可达矩阵！



可达矩阵如下


$$R=\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{8 \times8}} &A1 &A2 &A3 &A4 &A5 &A6 &A7 &A8\\ \hline A1 &1 &1 & &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline A2 & &1 & &1 &1 & & &1\\ \hline A3 & & &1 &1 & & & &1\\ \hline A4 & & & &1 & & & &1\\ \hline A5 & & & &1 &1 & & &1\\ \hline A6 & &1 & &1 &1 &1 & &1\\ \hline A7 & &1 & &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline A8 & & & & & & & &1\\ \hline \end{array} $$

矩阵的表示形式


   A1A2A3A4A5A6A7A8
A1                   1   
A2             1         
A3          1            
A4                      1
A5          1            
A6    1       1         
A7    1          1      
A8                        

矩阵的表示形式


原始矩阵 可达矩阵
   A1A2A3A4A5A6A7A8
A1                   1   
A2             1         
A3          1            
A4                      1
A5          1            
A6    1       1         
A7    1          1      
A8                        
   A1A2A3A4A5A6A7A8
A1 1 1    1 1 1 1 1
A2    1    1 1       1
A3       1 1          1
A4          1          1
A5          1 1       1
A6    1    1 1 1    1
A7    1    1 1 1 1 1
A8                      1

可达矩阵的求解,其中其中快速（迭代）Warshall的转移闭包与逼近的可达矩阵的速度最快

矩阵相乘的次数 相乘矩阵自乘的方法 幂乘的方法 快速Warshall转移法
1
   A1A2A3A4A5A6A7A8
A1 1                1   
A2    1       1         
A3       1 1            
A4          1          1
A5          1 1         
A6    1       1 1      
A7    1          1 1   
A8                      1
   A1A2A3A4A5A6A7A8
A1 1                1   
A2    1       1         
A3       1 1            
A4          1          1
A5          1 1         
A6    1       1 1      
A7    1          1 1   
A8                      1
   A1A2A3A4A5A6A7A8
A1 1                1   
A2    1       1         
A3       1 1            
A4          1          1
A5          1 1         
A6    1       1 1      
A7    1          1 1   
A8                      1
2
   A1A2A3A4A5A6A7A8
A1 1 1          1 1   
A2    1    1 1         
A3       1 1          1
A4          1          1
A5          1 1       1
A6    1    1 1 1      
A7    1       1 1 1   
A8                      1
   A1A2A3A4A5A6A7A8
A1 1 1          1 1   
A2    1    1 1         
A3       1 1          1
A4          1          1
A5          1 1       1
A6    1    1 1 1      
A7    1       1 1 1   
A8                      1
   A1A2A3A4A5A6A7A8
A1 1 1          1 1   
A2    1    1 1         
A3       1 1          1
A4          1          1
A5          1 1       1
A6    1    1 1 1    1
A7    1    1 1 1 1 1
A8                      1
3
   A1A2A3A4A5A6A7A8
A1 1 1       1 1 1   
A2    1    1 1       1
A3       1 1          1
A4          1          1
A5          1 1       1
A6    1    1 1 1    1
A7    1    1 1 1 1   
A8                      1
   A1A2A3A4A5A6A7A8
A1 1 1    1 1 1 1   
A2    1    1 1       1
A3       1 1          1
A4          1          1
A5          1 1       1
A6    1    1 1 1    1
A7    1    1 1 1 1 1
A8                      1
   A1A2A3A4A5A6A7A8
A1 1 1    1 1 1 1 1
A2    1    1 1       1
A3       1 1          1
A4          1          1
A5          1 1       1
A6    1    1 1 1    1
A7    1    1 1 1 1 1
A8                      1
4
   A1A2A3A4A5A6A7A8
A1 1 1    1 1 1 1   
A2    1    1 1       1
A3       1 1          1
A4          1          1
A5          1 1       1
A6    1    1 1 1    1
A7    1    1 1 1 1 1
A8                      1
   A1A2A3A4A5A6A7A8
A1 1 1    1 1 1 1 1
A2    1    1 1       1
A3       1 1          1
A4          1          1
A5          1 1       1
A6    1    1 1 1    1
A7    1    1 1 1 1 1
A8                      1
   A1A2A3A4A5A6A7A8
A1 1 1    1 1 1 1 1
A2    1    1 1       1
A3       1 1          1
A4          1          1
A5          1 1       1
A6    1    1 1 1    1
A7    1    1 1 1 1 1
A8                      1
5
   A1A2A3A4A5A6A7A8
A1 1 1    1 1 1 1 1
A2    1    1 1       1
A3       1 1          1
A4          1          1
A5          1 1       1
A6    1    1 1 1    1
A7    1    1 1 1 1 1
A8                      1
   A1A2A3A4A5A6A7A8
A1 1 1    1 1 1 1 1
A2    1    1 1       1
A3       1 1          1
A4          1          1
A5          1 1       1
A6    1    1 1 1    1
A7    1    1 1 1 1 1
A8                      1
6
   A1A2A3A4A5A6A7A8
A1 1 1    1 1 1 1 1
A2    1    1 1       1
A3       1 1          1
A4          1          1
A5          1 1       1
A6    1    1 1 1    1
A7    1    1 1 1 1 1
A8                      1

逐次平法法进行布尔乘积的次数虽然要少于自乘的方式，但是由于中间矩阵中值为1的个数更多，所以整个获得可达矩阵的时间效率上来说，它不一定快，甚至更慢！，只有改进为集合求解方式，其效率会大大加快


下图为它们的可达集合标记法，链表标识方式

矩阵相乘的次数 相乘矩阵自乘的方法 幂乘的方法 快速Warshall转移法
1
A1 A1、A7、
A2 A2、A5、
A3 A3、A4、
A4 A4、A8、
A5 A4、A5、
A6 A2、A5、A6、
A7 A2、A6、A7、
A8 A8、
A1 A1、A7、
A2 A2、A5、
A3 A3、A4、
A4 A4、A8、
A5 A4、A5、
A6 A2、A5、A6、
A7 A2、A6、A7、
A8 A8、
A1 A1、A7、
A2 A2、A5、
A3 A3、A4、
A4 A4、A8、
A5 A4、A5、
A6 A2、A5、A6、
A7 A2、A6、A7、
A8 A8、
2
A1 A1、A2、A6、A7、
A2 A2、A4、A5、
A3 A3、A4、A8、
A4 A4、A8、
A5 A4、A5、A8、
A6 A2、A4、A5、A6、
A7 A2、A5、A6、A7、
A8 A8、
A1 A1、A2、A6、A7、
A2 A2、A4、A5、
A3 A3、A4、A8、
A4 A4、A8、
A5 A4、A5、A8、
A6 A2、A4、A5、A6、
A7 A2、A5、A6、A7、
A8 A8、
A1 A1、A2、A6、A7、
A2 A2、A4、A5、
A3 A3、A4、A8、
A4 A4、A8、
A5 A4、A5、A8、
A6 A2、A4、A5、A6、A8、
A7 A2、A4、A5、A6、A7、A8、
A8 A8、
3
A1 A1、A2、A5、A6、A7、
A2 A2、A4、A5、A8、
A3 A3、A4、A8、
A4 A4、A8、
A5 A4、A5、A8、
A6 A2、A4、A5、A6、A8、
A7 A2、A4、A5、A6、A7、
A8 A8、
A1 A1、A2、A4、A5、A6、A7、
A2 A2、A4、A5、A8、
A3 A3、A4、A8、
A4 A4、A8、
A5 A4、A5、A8、
A6 A2、A4、A5、A6、A8、
A7 A2、A4、A5、A6、A7、A8、
A8 A8、
A1 A1、A2、A4、A5、A6、A7、A8、
A2 A2、A4、A5、A8、
A3 A3、A4、A8、
A4 A4、A8、
A5 A4、A5、A8、
A6 A2、A4、A5、A6、A8、
A7 A2、A4、A5、A6、A7、A8、
A8 A8、
4
A1 A1、A2、A4、A5、A6、A7、
A2 A2、A4、A5、A8、
A3 A3、A4、A8、
A4 A4、A8、
A5 A4、A5、A8、
A6 A2、A4、A5、A6、A8、
A7 A2、A4、A5、A6、A7、A8、
A8 A8、
A1 A1、A2、A4、A5、A6、A7、A8、
A2 A2、A4、A5、A8、
A3 A3、A4、A8、
A4 A4、A8、
A5 A4、A5、A8、
A6 A2、A4、A5、A6、A8、
A7 A2、A4、A5、A6、A7、A8、
A8 A8、
A1 A1、A2、A4、A5、A6、A7、A8、
A2 A2、A4、A5、A8、
A3 A3、A4、A8、
A4 A4、A8、
A5 A4、A5、A8、
A6 A2、A4、A5、A6、A8、
A7 A2、A4、A5、A6、A7、A8、
A8 A8、
5
A1 A1、A2、A4、A5、A6、A7、A8、
A2 A2、A4、A5、A8、
A3 A3、A4、A8、
A4 A4、A8、
A5 A4、A5、A8、
A6 A2、A4、A5、A6、A8、
A7 A2、A4、A5、A6、A7、A8、
A8 A8、
A1 A1、A2、A4、A5、A6、A7、A8、
A2 A2、A4、A5、A8、
A3 A3、A4、A8、
A4 A4、A8、
A5 A4、A5、A8、
A6 A2、A4、A5、A6、A8、
A7 A2、A4、A5、A6、A7、A8、
A8 A8、
6
A1 A1、A2、A4、A5、A6、A7、A8、
A2 A2、A4、A5、A8、
A3 A3、A4、A8、
A4 A4、A8、
A5 A4、A5、A8、
A6 A2、A4、A5、A6、A8、
A7 A2、A4、A5、A6、A7、A8、
A8 A8、

比较求解过程中每一步矩阵值与上一个矩阵的变化


矩阵相乘的次数 相乘矩阵自乘的方法 逐次平方法 快速转移法，Warshall快速转移
1
   A1A2A3A4A5A6A7A8
A1 1                1   
A2    1       1         
A3       1 1            
A4          1          1
A5          1 1         
A6    1       1 1      
A7    1          1 1   
A8                      1
   A1A2A3A4A5A6A7A8
A1 1                1   
A2    1       1         
A3       1 1            
A4          1          1
A5          1 1         
A6    1       1 1      
A7    1          1 1   
A8                      1
   A1A2A3A4A5A6A7A8
A1 1                1   
A2    1       1         
A3       1 1            
A4          1          1
A5          1 1         
A6    1       1 1      
A7    1          1 1   
A8                      1
2
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
A1 11 　 　 　 1 1 　
A2 　 1 　 1 1 　 　 　
A3 　 　 11 　 　 　 1
A4 　 　 　 1 　 　 　 1
A5 　 　 　 11 　 　 1
A6 　 1 　 1 11 　 　
A7 　 1 　 　 1 11 　
A8 　 　 　 　 　 　 　 1
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
A1 11 　 　 　 1 1 　
A2 　 1 　 1 1 　 　 　
A3 　 　 11 　 　 　 1
A4 　 　 　 1 　 　 　 1
A5 　 　 　 11 　 　 1
A6 　 1 　 1 11 　 　
A7 　 1 　 　 1 11 　
A8 　 　 　 　 　 　 　 1
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
A1 11 　 　 　 1 1 　
A2 　 1 　 1 1 　 　 　
A3 　 　 11 　 　 　 1
A4 　 　 　 1 　 　 　 1
A5 　 　 　 11 　 　 1
A6 　 1 　 1 11 　 1
A7 　 1 　 1 1 111
A8 　 　 　 　 　 　 　 1
3
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
A1 11 　 　 1 11 　
A2 　 1 　 11 　 　 1
A3 　 　 11 　 　 　 1
A4 　 　 　 1 　 　 　 1
A5 　 　 　 11 　 　 1
A6 　 1 　 111 　 1
A7 　 1 　 1 111 　
A8 　 　 　 　 　 　 　 1
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
A1 11 　 1 1 11 　
A2 　 1 　 11 　 　 1
A3 　 　 11 　 　 　 1
A4 　 　 　 1 　 　 　 1
A5 　 　 　 11 　 　 1
A6 　 1 　 111 　 1
A7 　 1 　 1 1111
A8 　 　 　 　 　 　 　 1
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
A1 11 　 1 1 111
A2 　 1 　 11 　 　 1
A3 　 　 11 　 　 　 1
A4 　 　 　 1 　 　 　 1
A5 　 　 　 11 　 　 1
A6 　 1 　 111 　 1
A7 　 1 　 11111
A8 　 　 　 　 　 　 　 1
4
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
A1 11 　 1 111 　
A2 　 1 　 11 　 　 1
A3 　 　 11 　 　 　 1
A4 　 　 　 1 　 　 　 1
A5 　 　 　 11 　 　 1
A6 　 1 　 111 　 1
A7 　 1 　 11111
A8 　 　 　 　 　 　 　 1
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
A1 11 　 11111
A2 　 1 　 11 　 　 1
A3 　 　 11 　 　 　 1
A4 　 　 　 1 　 　 　 1
A5 　 　 　 11 　 　 1
A6 　 1 　 111 　 1
A7 　 1 　 11111
A8 　 　 　 　 　 　 　 1
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
A1 11 　 11111
A2 　 1 　 11 　 　 1
A3 　 　 11 　 　 　 1
A4 　 　 　 1 　 　 　 1
A5 　 　 　 11 　 　 1
A6 　 1 　 111 　 1
A7 　 1 　 11111
A8 　 　 　 　 　 　 　 1
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A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
A1 11 　 11111
A2 　 1 　 11 　 　 1
A3 　 　 11 　 　 　 1
A4 　 　 　 1 　 　 　 1
A5 　 　 　 11 　 　 1
A6 　 1 　 111 　 1
A7 　 1 　 11111
A8 　 　 　 　 　 　 　 1
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
A1 11 　 11111
A2 　 1 　 11 　 　 1
A3 　 　 11 　 　 　 1
A4 　 　 　 1 　 　 　 1
A5 　 　 　 11 　 　 1
A6 　 1 　 111 　 1
A7 　 1 　 11111
A8 　 　 　 　 　 　 　 1
6
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
A1 11 　 11111
A2 　 1 　 11 　 　 1
A3 　 　 11 　 　 　 1
A4 　 　 　 1 　 　 　 1
A5 　 　 　 11 　 　 1
A6 　 1 　 111 　 1
A7 　 1 　 11111
A8 　 　 　 　 　 　 　 1

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解释结构模型
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