可达矩阵的四种求解方法：自乘，幂乘，Warshall转移闭包法、一次性Warshall法

~
计算方式
优缺点
自乘法

第一步：求出自乘矩阵。

第二步：相乘矩阵，乘以相乘矩阵，就是进行布尔积（Boolean Product）⊙运算。

第三步：自乘矩阵一直乘下去。

最后：得到的矩阵不再变化时，该矩阵就叫可达矩阵。

优点：数学表达式简单，好理解。通常计算都是用这种方法，大部分教科书也是用的这种方法。

缺点：运算慢。矩阵的布尔积运算次数多！
幂乘法

第一步：求出自乘矩阵。

第二步：相乘矩阵，乘以相乘矩阵，就是进行布尔积（Boolean Product）⊙运算。

第三步：得到的矩阵称之为幂矩阵，幂矩阵再相乘，一直这样平方下去。

最后：得到的矩阵不再变化时，该矩阵就叫可达矩阵。

优点：数学表达式简单，好理解。

缺点：运算慢。矩阵的布尔积运算次数多！

另外一个由于幂矩阵中的为1的值相对较多。其实际运算速度不一定就比自乘法快，虽然其，矩阵乘法运算次数相对于自乘法要少！
Warshall法

第一步：求出自乘矩阵。

第二步：相乘矩阵，得到转移矩阵。

第三步：转移矩阵的相对于自乘矩阵的转移矩阵，一直循环。

最后：得到的矩阵不再变化时，该矩阵就叫可达矩阵。

优点：运算速度中等。

缺点：稍微有点难理解！
改进Warshall法

第一步：求出自乘矩阵。

第二步：相乘矩阵，得到转移矩阵。

第三步：转移矩阵的转移矩阵，一直循环。

最后：得到的矩阵不再变化时，该矩阵就叫可达矩阵。

优点：运算速度中等。

缺点：稍微有点难理解！
一次性Warshall法

第一步：根据原始矩阵求出所有的强连通分量

第二步：根据强连通分量得到的是一个良好拓扑排序的矩阵

第三步：从上到下，进行一次Warshall运算就得到了可达矩阵。

优点：运算速度得到数量级的提高。

缺点：难理解！

在矩阵对角线下一个对角线上全部输入1，只要一次Wallshall就可以得出可达矩阵！



可达矩阵如下


$$R=\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{8 \times8}} &B1 &B2 &B3 &B4 &B5 &B6 &B7 &B8\\ \hline B1 &1 & &1 &1 &1 & &1 &1\\ \hline B2 &1 &1 &1 &1 &1 & &1 &1\\ \hline B3 & & &1 &1 &1 & & &1\\ \hline B4 & & &1 &1 &1 & & &1\\ \hline B5 & & &1 &1 &1 & & &1\\ \hline B6 & & &1 &1 &1 &1 & &1\\ \hline B7 & & &1 &1 &1 & &1 &1\\ \hline B8 & & &1 &1 &1 & & &1\\ \hline \end{array} $$

矩阵的表示形式


   B1B2B3B4B5B6B7B8
B1                   1   
B2 1                     
B3                      1
B4             1         
B5       1               
B6          1          1
B7          1            
B8          1            

矩阵的表示形式


原始矩阵 可达矩阵
   B1B2B3B4B5B6B7B8
B1                   1   
B2 1                     
B3                      1
B4             1         
B5       1               
B6          1          1
B7          1            
B8          1            
   B1B2B3B4B5B6B7B8
B1 1    1 1 1    1 1
B2 1 1 1 1 1    1 1
B3       1 1 1       1
B4       1 1 1       1
B5       1 1 1       1
B6       1 1 1 1    1
B7       1 1 1    1 1
B8       1 1 1       1

可达矩阵的求解,其中其中快速（迭代）Warshall的转移闭包与逼近的可达矩阵的速度最快

矩阵相乘的次数 相乘矩阵自乘的方法 幂乘的方法 快速Warshall转移法
1
   B1B2B3B4B5B6B7B8
B1 1                1   
B2 1 1                  
B3       1             1
B4          1 1         
B5       1    1         
B6          1    1    1
B7          1       1   
B8          1          1
   B1B2B3B4B5B6B7B8
B1 1                1   
B2 1 1                  
B3       1             1
B4          1 1         
B5       1    1         
B6          1    1    1
B7          1       1   
B8          1          1
   B1B2B3B4B5B6B7B8
B1 1                1   
B2 1 1                  
B3       1             1
B4          1 1         
B5       1    1         
B6          1    1    1
B7          1       1   
B8          1          1
2
   B1B2B3B4B5B6B7B8
B1 1       1       1   
B2 1 1             1   
B3       1 1          1
B4       1 1 1         
B5       1    1       1
B6          1 1 1    1
B7          1 1    1   
B8          1 1       1
   B1B2B3B4B5B6B7B8
B1 1       1       1   
B2 1 1             1   
B3       1 1          1
B4       1 1 1         
B5       1    1       1
B6          1 1 1    1
B7          1 1    1   
B8          1 1       1
   B1B2B3B4B5B6B7B8
B1 1       1       1   
B2 1 1    1       1   
B3       1 1          1
B4       1 1 1         
B5       1 1 1       1
B6       1 1 1 1    1
B7       1 1 1    1   
B8       1 1 1       1
3
   B1B2B3B4B5B6B7B8
B1 1       1 1    1   
B2 1 1    1       1   
B3       1 1 1       1
B4       1 1 1       1
B5       1 1 1       1
B6       1 1 1 1    1
B7       1 1 1    1   
B8       1 1 1       1
   B1B2B3B4B5B6B7B8
B1 1    1 1 1    1   
B2 1 1    1 1    1   
B3       1 1 1       1
B4       1 1 1       1
B5       1 1 1       1
B6       1 1 1 1    1
B7       1 1 1    1 1
B8       1 1 1       1
   B1B2B3B4B5B6B7B8
B1 1    1 1 1    1   
B2 1 1 1 1 1    1   
B3       1 1 1       1
B4       1 1 1       1
B5       1 1 1       1
B6       1 1 1 1    1
B7       1 1 1    1 1
B8       1 1 1       1
4
   B1B2B3B4B5B6B7B8
B1 1    1 1 1    1   
B2 1 1    1 1    1   
B3       1 1 1       1
B4       1 1 1       1
B5       1 1 1       1
B6       1 1 1 1    1
B7       1 1 1    1 1
B8       1 1 1       1
   B1B2B3B4B5B6B7B8
B1 1    1 1 1    1 1
B2 1 1 1 1 1    1 1
B3       1 1 1       1
B4       1 1 1       1
B5       1 1 1       1
B6       1 1 1 1    1
B7       1 1 1    1 1
B8       1 1 1       1
   B1B2B3B4B5B6B7B8
B1 1    1 1 1    1 1
B2 1 1 1 1 1    1 1
B3       1 1 1       1
B4       1 1 1       1
B5       1 1 1       1
B6       1 1 1 1    1
B7       1 1 1    1 1
B8       1 1 1       1
5
   B1B2B3B4B5B6B7B8
B1 1    1 1 1    1 1
B2 1 1 1 1 1    1   
B3       1 1 1       1
B4       1 1 1       1
B5       1 1 1       1
B6       1 1 1 1    1
B7       1 1 1    1 1
B8       1 1 1       1
   B1B2B3B4B5B6B7B8
B1 1    1 1 1    1 1
B2 1 1 1 1 1    1 1
B3       1 1 1       1
B4       1 1 1       1
B5       1 1 1       1
B6       1 1 1 1    1
B7       1 1 1    1 1
B8       1 1 1       1
   B1B2B3B4B5B6B7B8
B1 1    1 1 1    1 1
B2 1 1 1 1 1    1 1
B3       1 1 1       1
B4       1 1 1       1
B5       1 1 1       1
B6       1 1 1 1    1
B7       1 1 1    1 1
B8       1 1 1       1
6
   B1B2B3B4B5B6B7B8
B1 1    1 1 1    1 1
B2 1 1 1 1 1    1 1
B3       1 1 1       1
B4       1 1 1       1
B5       1 1 1       1
B6       1 1 1 1    1
B7       1 1 1    1 1
B8       1 1 1       1
7
   B1B2B3B4B5B6B7B8
B1 1    1 1 1    1 1
B2 1 1 1 1 1    1 1
B3       1 1 1       1
B4       1 1 1       1
B5       1 1 1       1
B6       1 1 1 1    1
B7       1 1 1    1 1
B8       1 1 1       1

逐次平法法进行布尔乘积的次数虽然要少于自乘的方式，但是由于中间矩阵中值为1的个数更多，所以整个获得可达矩阵的时间效率上来说，它不一定快，甚至更慢！，只有改进为集合求解方式，其效率会大大加快


下图为它们的可达集合标记法，链表标识方式

矩阵相乘的次数 相乘矩阵自乘的方法 幂乘的方法 快速Warshall转移法
1
B1 B1、B7、
B2 B1、B2、
B3 B3、B8、
B4 B4、B5、
B5 B3、B5、
B6 B4、B6、B8、
B7 B4、B7、
B8 B4、B8、
B1 B1、B7、
B2 B1、B2、
B3 B3、B8、
B4 B4、B5、
B5 B3、B5、
B6 B4、B6、B8、
B7 B4、B7、
B8 B4、B8、
B1 B1、B7、
B2 B1、B2、
B3 B3、B8、
B4 B4、B5、
B5 B3、B5、
B6 B4、B6、B8、
B7 B4、B7、
B8 B4、B8、
2
B1 B1、B4、B7、
B2 B1、B2、B7、
B3 B3、B4、B8、
B4 B3、B4、B5、
B5 B3、B5、B8、
B6 B4、B5、B6、B8、
B7 B4、B5、B7、
B8 B4、B5、B8、
B1 B1、B4、B7、
B2 B1、B2、B7、
B3 B3、B4、B8、
B4 B3、B4、B5、
B5 B3、B5、B8、
B6 B4、B5、B6、B8、
B7 B4、B5、B7、
B8 B4、B5、B8、
B1 B1、B4、B7、
B2 B1、B2、B4、B7、
B3 B3、B4、B8、
B4 B3、B4、B5、
B5 B3、B4、B5、B8、
B6 B3、B4、B5、B6、B8、
B7 B3、B4、B5、B7、
B8 B3、B4、B5、B8、
3
B1 B1、B4、B5、B7、
B2 B1、B2、B4、B7、
B3 B3、B4、B5、B8、
B4 B3、B4、B5、B8、
B5 B3、B4、B5、B8、
B6 B3、B4、B5、B6、B8、
B7 B3、B4、B5、B7、
B8 B3、B4、B5、B8、
B1 B1、B3、B4、B5、B7、
B2 B1、B2、B4、B5、B7、
B3 B3、B4、B5、B8、
B4 B3、B4、B5、B8、
B5 B3、B4、B5、B8、
B6 B3、B4、B5、B6、B8、
B7 B3、B4、B5、B7、B8、
B8 B3、B4、B5、B8、
B1 B1、B3、B4、B5、B7、
B2 B1、B2、B3、B4、B5、B7、
B3 B3、B4、B5、B8、
B4 B3、B4、B5、B8、
B5 B3、B4、B5、B8、
B6 B3、B4、B5、B6、B8、
B7 B3、B4、B5、B7、B8、
B8 B3、B4、B5、B8、
4
B1 B1、B3、B4、B5、B7、
B2 B1、B2、B4、B5、B7、
B3 B3、B4、B5、B8、
B4 B3、B4、B5、B8、
B5 B3、B4、B5、B8、
B6 B3、B4、B5、B6、B8、
B7 B3、B4、B5、B7、B8、
B8 B3、B4、B5、B8、
B1 B1、B3、B4、B5、B7、B8、
B2 B1、B2、B3、B4、B5、B7、B8、
B3 B3、B4、B5、B8、
B4 B3、B4、B5、B8、
B5 B3、B4、B5、B8、
B6 B3、B4、B5、B6、B8、
B7 B3、B4、B5、B7、B8、
B8 B3、B4、B5、B8、
B1 B1、B3、B4、B5、B7、B8、
B2 B1、B2、B3、B4、B5、B7、B8、
B3 B3、B4、B5、B8、
B4 B3、B4、B5、B8、
B5 B3、B4、B5、B8、
B6 B3、B4、B5、B6、B8、
B7 B3、B4、B5、B7、B8、
B8 B3、B4、B5、B8、
5
B1 B1、B3、B4、B5、B7、B8、
B2 B1、B2、B3、B4、B5、B7、
B3 B3、B4、B5、B8、
B4 B3、B4、B5、B8、
B5 B3、B4、B5、B8、
B6 B3、B4、B5、B6、B8、
B7 B3、B4、B5、B7、B8、
B8 B3、B4、B5、B8、
B1 B1、B3、B4、B5、B7、B8、
B2 B1、B2、B3、B4、B5、B7、B8、
B3 B3、B4、B5、B8、
B4 B3、B4、B5、B8、
B5 B3、B4、B5、B8、
B6 B3、B4、B5、B6、B8、
B7 B3、B4、B5、B7、B8、
B8 B3、B4、B5、B8、
B1 B1、B3、B4、B5、B7、B8、
B2 B1、B2、B3、B4、B5、B7、B8、
B3 B3、B4、B5、B8、
B4 B3、B4、B5、B8、
B5 B3、B4、B5、B8、
B6 B3、B4、B5、B6、B8、
B7 B3、B4、B5、B7、B8、
B8 B3、B4、B5、B8、
6
B1 B1、B3、B4、B5、B7、B8、
B2 B1、B2、B3、B4、B5、B7、B8、
B3 B3、B4、B5、B8、
B4 B3、B4、B5、B8、
B5 B3、B4、B5、B8、
B6 B3、B4、B5、B6、B8、
B7 B3、B4、B5、B7、B8、
B8 B3、B4、B5、B8、
7
B1 B1、B3、B4、B5、B7、B8、
B2 B1、B2、B3、B4、B5、B7、B8、
B3 B3、B4、B5、B8、
B4 B3、B4、B5、B8、
B5 B3、B4、B5、B8、
B6 B3、B4、B5、B6、B8、
B7 B3、B4、B5、B7、B8、
B8 B3、B4、B5、B8、

比较求解过程中每一步矩阵值与上一个矩阵的变化


矩阵相乘的次数 相乘矩阵自乘的方法 逐次平方法 快速转移法，Warshall快速转移
1
   B1B2B3B4B5B6B7B8
B1 1                1   
B2 1 1                  
B3       1             1
B4          1 1         
B5       1    1         
B6          1    1    1
B7          1       1   
B8          1          1
   B1B2B3B4B5B6B7B8
B1 1                1   
B2 1 1                  
B3       1             1
B4          1 1         
B5       1    1         
B6          1    1    1
B7          1       1   
B8          1          1
   B1B2B3B4B5B6B7B8
B1 1                1   
B2 1 1                  
B3       1             1
B4          1 1         
B5       1    1         
B6          1    1    1
B7          1       1   
B8          1          1
2
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8
B1 1 　 　 1 　 　 1 　
B2 11 　 　 　 　 1 　
B3 　 　 11 　 　 　 1
B4 　 　 1 11 　 　 　
B5 　 　 1 　 1 　 　 1
B6 　 　 　 11 1 　 1
B7 　 　 　 11 　 1 　
B8 　 　 　 11 　 　 1
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8
B1 1 　 　 1 　 　 1 　
B2 11 　 　 　 　 1 　
B3 　 　 11 　 　 　 1
B4 　 　 1 11 　 　 　
B5 　 　 1 　 1 　 　 1
B6 　 　 　 11 1 　 1
B7 　 　 　 11 　 1 　
B8 　 　 　 11 　 　 1
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8
B1 1 　 　 1 　 　 1 　
B2 11 　 1 　 　 1 　
B3 　 　 11 　 　 　 1
B4 　 　 1 11 　 　 　
B5 　 　 11 1 　 　 1
B6 　 　 1 11 1 　 1
B7 　 　 1 11 　 1 　
B8 　 　 1 11 　 　 1
3
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8
B1 1 　 　 11 　 1 　
B2 11 　 1 　 　 1 　
B3 　 　 111 　 　 1
B4 　 　 111 　 　 1
B5 　 　 11 1 　 　 1
B6 　 　 1 111 　 1
B7 　 　 1 11 　 1 　
B8 　 　 1 11 　 　 1
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8
B1 1 　 1 11 　 1 　
B2 11 　 1 1 　 1 　
B3 　 　 111 　 　 1
B4 　 　 111 　 　 1
B5 　 　 11 1 　 　 1
B6 　 　 1 111 　 1
B7 　 　 1 11 　 11
B8 　 　 1 11 　 　 1
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8
B1 1 　 1 11 　 1 　
B2 111 11 　 1 　
B3 　 　 111 　 　 1
B4 　 　 111 　 　 1
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