利用Tarjan算法求有向图的强连通分量


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此处输入要素的个数:


Tarjan算法是用于求有向图的强连通分量

Tarjan算法的用途之一是,求一个有向图G=(V,E)里极大强连通分量。强连通分量是指有向图G里顶点间能互相到达的子图。而如果一个强连通分量已经没有被其它强通分量完全包含的话,那么这个强连通分量就是极大强连通分量。

时间复杂度:O(M+N) 注:M代表边数,N代表顶点数。

步骤概要:

步骤1: 找一个没有被遍历过的顶点v,进行步骤2(v)(遍历时间由1开始累加,若是非连通图,则须重复进行步骤1)。否则,算法结束。

步骤2(v): 初始化dfn[v]和low[v]的值为当前的遍历时间,并且v进栈;

对于v所有的邻接顶点u:
(1) 如果u没有被遍历过,则进行步骤2(u),同时维护low[v]。
(2) 如果u已经被遍历过,但还在栈中(即还不属于任一强连通分量),则维护low[v],否则不做任何操作。
   如果有dfn[v]==low[v],则把栈中的顶点弹出(直到把v都弹出为止),这些顶点组成一个强连通分量。

简要证明:

1. 在栈里,当dfs遍历到v,而且已经遍历完v所能直接到达的顶点时,low[v]=dfn[v]时,v一定能到达栈里v上面的顶点:
因为当dfs遍历到v,而且已经dfs递归调用完v所能直接到达的顶点时(假设上面没有low=dfn),这时如果发现low[v]=dfn[v],栈上面的顶点一定是刚才从顶点v递归调用时进栈的,所以v一定能够到达那些顶点。

2 .dfs遍历时,如果已经遍历完v所能直接到达的顶点而low[v]=dfn[v],我们知道v一定能到达栈里v上面的顶点,这些顶点的low一定小于 自己的dfn,不然就会出栈了,也不会小于dfn[v],不然low [v]一定小于dfn[v],所以栈里v以其v以上的顶点组成的子图是一个强连通分量,如果它不是极大强连通分量的话low[v]也一定小于dfn[v](这里不再详细说),所以栈里v以其v以上的顶点组成的子图是一个极大强连通分量。
强烈推荐详细的解释与说明


显示的是一个随机 12 * 12 的方阵



   老鼠金牛白虎狡兔青龙毒蛇骏马小羊猕猴山鸡狗仔笨猪
老鼠       1          1               
金牛                               1   
白虎                                    
狡兔 1                         1      
青龙                1       1         
毒蛇 1                1               
骏马 1       1             1    1   
小羊                                    
猕猴 1                1 1            
山鸡          1                        
狗仔                         1         
笨猪                   1               
  开始用深度搜索,从第一个节点开始!
      访问的元素是:老鼠
      堆栈里的元素有:老鼠
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1
      访问的元素是:白虎
      堆栈里的元素有:老鼠、白虎
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2
          此时白虎在两个数组中的值相等,并且前驱节点为空!
         堆栈里的元素有:老鼠、白虎
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2
          弹出要素白虎 如果不等于白虎继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠
          停止弹出!
      访问的元素是:骏马
      堆栈里的元素有:老鼠、骏马
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、骏马=3
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、骏马=3
          要素老鼠在dfn数组中的值,小于骏马在low数组中的值,现在进行赋值 low骏马=dfn老鼠;
      访问的元素是:狡兔
      堆栈里的元素有:老鼠、骏马、狡兔
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、骏马=3、狡兔=4
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、骏马=1、狡兔=4
          要素老鼠在dfn数组中的值,小于狡兔在low数组中的值,现在进行赋值 low狡兔=dfn老鼠;
      访问的元素是:山鸡
      堆栈里的元素有:老鼠、骏马、狡兔、山鸡
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、骏马=3、狡兔=4、山鸡=5
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、骏马=1、狡兔=1、山鸡=5
          要素狡兔在dfn数组中的值,小于山鸡在low数组中的值,现在进行赋值 low山鸡=dfn狡兔;
      访问的元素是:猕猴
      堆栈里的元素有:老鼠、骏马、狡兔、山鸡、猕猴
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、骏马=3、狡兔=4、山鸡=5、猕猴=6
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、骏马=1、狡兔=1、山鸡=4、猕猴=6
          要素老鼠在dfn数组中的值,小于猕猴在low数组中的值,现在进行赋值 low猕猴=dfn老鼠;
      访问的元素是:小羊
      堆栈里的元素有:老鼠、骏马、狡兔、山鸡、猕猴、小羊
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、骏马=3、狡兔=4、山鸡=5、猕猴=6、小羊=7
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、骏马=1、狡兔=1、山鸡=4、猕猴=1、小羊=7
          此时小羊在两个数组中的值相等,并且前驱节点为空!
         堆栈里的元素有:老鼠、骏马、狡兔、山鸡、猕猴、小羊
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、骏马=3、狡兔=4、山鸡=5、猕猴=6、小羊=7
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、骏马=1、狡兔=1、山鸡=4、猕猴=1、小羊=7
          弹出要素小羊 如果不等于小羊继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠、骏马、狡兔、山鸡、猕猴
          停止弹出!
      访问的元素是:狗仔
      堆栈里的元素有:老鼠、骏马、狡兔、山鸡、猕猴、狗仔
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、骏马=3、狡兔=4、山鸡=5、猕猴=6、小羊=7、狗仔=8
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、骏马=1、狡兔=1、山鸡=4、猕猴=1、小羊=7、狗仔=8
          要素猕猴在dfn数组中的值,小于狗仔在low数组中的值,现在进行赋值 low狗仔=dfn猕猴;
          此时老鼠在两个数组中的值相等,并且前驱节点为空!
         堆栈里的元素有:老鼠、骏马、狡兔、山鸡、猕猴、狗仔
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、骏马=3、狡兔=4、山鸡=5、猕猴=6、小羊=7、狗仔=8
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、骏马=1、狡兔=1、山鸡=4、猕猴=1、小羊=7、狗仔=6
          弹出要素狗仔 如果不等于老鼠继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠、骏马、狡兔、山鸡、猕猴
          弹出要素猕猴 如果不等于老鼠继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠、骏马、狡兔、山鸡
          弹出要素山鸡 如果不等于老鼠继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠、骏马、狡兔
          弹出要素狡兔 如果不等于老鼠继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠、骏马
          弹出要素骏马 如果不等于老鼠继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠
          弹出要素老鼠 如果不等于老鼠继续弹出
         堆栈里的元素有:
          停止弹出!
      访问的元素是:金牛
      堆栈里的元素有:金牛
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、骏马=3、狡兔=4、山鸡=5、猕猴=6、小羊=7、狗仔=8、金牛=9
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、骏马=1、狡兔=1、山鸡=4、猕猴=1、小羊=7、狗仔=6、金牛=9
          此时金牛在两个数组中的值相等,并且前驱节点为空!
         堆栈里的元素有:金牛
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、骏马=3、狡兔=4、山鸡=5、猕猴=6、小羊=7、狗仔=8、金牛=9
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、骏马=1、狡兔=1、山鸡=4、猕猴=1、小羊=7、狗仔=6、金牛=9
          弹出要素金牛 如果不等于金牛继续弹出
         堆栈里的元素有:
          停止弹出!
      访问的元素是:青龙
      堆栈里的元素有:青龙
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、骏马=3、狡兔=4、山鸡=5、猕猴=6、小羊=7、狗仔=8、金牛=9、青龙=10
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、骏马=1、狡兔=1、山鸡=4、猕猴=1、小羊=7、狗仔=6、金牛=9、青龙=10
      访问的元素是:毒蛇
      堆栈里的元素有:青龙、毒蛇
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、骏马=3、狡兔=4、山鸡=5、猕猴=6、小羊=7、狗仔=8、金牛=9、青龙=10、毒蛇=11
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、骏马=1、狡兔=1、山鸡=4、猕猴=1、小羊=7、狗仔=6、金牛=9、青龙=10、毒蛇=11
          此时毒蛇在两个数组中的值相等,并且前驱节点为空!
         堆栈里的元素有:青龙、毒蛇
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、骏马=3、狡兔=4、山鸡=5、猕猴=6、小羊=7、狗仔=8、金牛=9、青龙=10、毒蛇=11
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、骏马=1、狡兔=1、山鸡=4、猕猴=1、小羊=7、狗仔=6、金牛=9、青龙=10、毒蛇=11
          弹出要素毒蛇 如果不等于毒蛇继续弹出
         堆栈里的元素有:青龙
          停止弹出!
          此时青龙在两个数组中的值相等,并且前驱节点为空!
         堆栈里的元素有:青龙
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、骏马=3、狡兔=4、山鸡=5、猕猴=6、小羊=7、狗仔=8、金牛=9、青龙=10、毒蛇=11
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、骏马=1、狡兔=1、山鸡=4、猕猴=1、小羊=7、狗仔=6、金牛=9、青龙=10、毒蛇=11
          弹出要素青龙 如果不等于青龙继续弹出
         堆栈里的元素有:
          停止弹出!
      访问的元素是:笨猪
      堆栈里的元素有:笨猪
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、骏马=3、狡兔=4、山鸡=5、猕猴=6、小羊=7、狗仔=8、金牛=9、青龙=10、毒蛇=11、笨猪=12
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、骏马=1、狡兔=1、山鸡=4、猕猴=1、小羊=7、狗仔=6、金牛=9、青龙=10、毒蛇=11、笨猪=12
          此时笨猪在两个数组中的值相等,并且前驱节点为空!
         堆栈里的元素有:笨猪
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、骏马=3、狡兔=4、山鸡=5、猕猴=6、小羊=7、狗仔=8、金牛=9、青龙=10、毒蛇=11、笨猪=12
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、骏马=1、狡兔=1、山鸡=4、猕猴=1、小羊=7、狗仔=6、金牛=9、青龙=10、毒蛇=11、笨猪=12
          弹出要素笨猪 如果不等于笨猪继续弹出
         堆栈里的元素有:
          停止弹出!
   白虎 小羊 狗仔 猕猴 山鸡 狡兔 骏马 老鼠 金牛 毒蛇 青龙 笨猪
白虎                                   
小羊                                   
狗仔         1                        
猕猴   1             1 1            
山鸡               1                  
狡兔            1       1            
骏马      1 1    1    1            
老鼠1                1               
金牛      1                           
毒蛇                  1 1            
青龙         1                1      
笨猪                  1               

计算出来后的


老鼠要素
金牛要素
白虎要素
狡兔要素
青龙要素
毒蛇要素
骏马要素
小羊要素
猕猴要素
山鸡要素
狗仔要素
笨猪要素
第0层
第1层
第2层
第3层
第4层
第5层
第6层

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