轮换法获得的层级优势在哪里？

　　菊花链原来指的是一种由许多菊花串接在一起形成的花环，是小朋友玩的游戏。后来转义到了拓扑几何中。

　　线性拓扑：例如，$A-B-C-D-E$，$A-B-C-D-E$和$C-M-N-O$（在C处分支）是菊花链。

　　环形拓扑：从最后一个设备到第一个设备有一个环路连接。例如，$A-B-C-D-E-A$（环）。这通常被称为“菊花链循环”。

　　如果是有向图，即发出有向边的为源点、箭头接收方为汇集点。

　　菊花链的有向线性拓扑为：例如，$$A\rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow E$$ $$ A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow E {和 }C \rightarrow M \rightarrow N \rightarrow O （在C处分支）是菊花链。$$

　　有向环形拓扑：即一个要素连接着一个要素的回路连接。例如，$A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow E \rightarrow A$（回路）。这通常被称为“菊花链循环”。

　　这种有向图的菊花链，依然可以跟小朋友的游戏方式关联起来，即，小朋友串菊花链的时候是从菊花的底部开始一个菊花，一个菊花串起来。

　　ISM方法的步骤如下：

　邻接矩阵　

　可达矩阵　

　区域划分

　　缩点

　　缩边

　层级划分

　ISM层级图

　　上述流程中红色字体处理出来的就是一个菊花链形式的表达！对应本网站的选项选项是：1、区域运算选择要 2、缩点选择不缩点3、缩边选择方式1或者选择方式2

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　　△可达矩阵

　　可达矩阵是一个非常重要的概念，尽管可以不计算可达矩阵而完成上面四大核心运算，但是运用可达矩阵可以更直观的与更便于理解的方式处理ISM的四大核心运算。运用可达矩阵来计算是牺牲运算速度为代价来满足直观性的要求。

　　◇区域划分

　　区域划分，又叫连通性判断，即判断系统中任意两个要素是否存在着有可达与被可达通路。是把系统看成无向图，即把邻接矩阵中任意的$a_{xy}=1$的值都有$a_{xy}=a_{yx}=1$。如果存在多个连通区域，取最大的连通区域即主连通区域进行研究。从菊花链拓扑来说，系统有两个连通区域意味着有两个不相关的菊花链。研究时取最大的菊花链来进行研究。只含有一个要素的区域，称为孤立要素，把该要素类比成小朋友游戏中的菊花，就是没有串起来的菊花。

　　◇缩点与回路分析

　　所谓缩点是把回路当成一个要素进行分析。菊花链的表达是不进行缩点，是把回路里的要素，列出来，用一个最简单的首尾相连的菊花链形式表达。

　原始A　

　原始B　

　原始C

　原始D　

　　上图右侧为回路菊花链。其中$C \rightarrow D$原图是不存在的。对于ISM的处理来说，回路只需要通过首尾相连的方式把任意排列的要素连接起来。$N个要素对应N条有向边$。

　　◇缩边

　　缩边就是把重复的路径删除，即把所有的向前边删除。

　　设：一个无回路的系统由$(A,B,C)$组成；路径有${A→B}, {B→C}, {A→C}$ 从$A跟C$可达的角度考虑存在着$(A→B→C) ,(A→C)$两条路径。其中$(A→C)$是可以删除的。也就是存在着多条可达路径，最短的那条路径是可以删除的。在现实世界中缩边的原则是经常出现的。比如不要越级指挥。

　　对于无回路的系统，即DAG，有简单的代数表达形式。

　　$S=R-(R-I)^2$

　　$S：$为缩边矩阵，又称为骨架矩阵，骨干矩阵，骨架阵

　　$R：$为可达矩阵

　　$I：$单位矩阵

　　该代数运算计算速度很低效，但是数学表达简洁。

　　对于存在回路系统，先把回路要素按照一个要素代替，那系统即变成有向无环图DAG，上述的骨架矩阵后再把回路替代回去即可！其中替代回去的规则极为重要，下面的例子会提及。

菊花链表达的缩减矩阵（一般性骨架矩阵）详细处理过程如下

　　设:原始系统为如下原始邻接矩阵

　　计算得出可达矩阵如下

$$R=\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{12 \times12}} &A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L\\ \hline A &1 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1\\ \hline B &0 &1 &0 &0 &1 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline C &0 &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1 &0 &1 &1 &0\\ \hline D &0 &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1 &0 &1 &1 &0\\ \hline E &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline F &0 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1 &0\\ \hline G &0 &0 &0 &0 &1 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline H &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0\\ \hline I &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0 &0 &0\\ \hline J &0 &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1 &0 &1 &1 &0\\ \hline K &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0\\ \hline L &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1\\ \hline \end{array}$$

通过可达矩阵求解区域划分，即判断系统有几个菊花链求出最大的菊花链

　　对原始矩阵转置:

$$ Ori=\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{12 \times12}} &A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L\\ \hline A & & & & & & & & & & & &1\\ \hline B & & & & &1 & &1 & & & & & \\ \hline C & &1 & & & & & & & &1 &1 & \\ \hline D & &1 &1 & & & &1 &1 & &1 &1 & \\ \hline E & & & & & & & & & & & & \\ \hline F & &1 &1 &1 &1 & &1 &1 & & & & \\ \hline G & & & & &1 & & & & & & & \\ \hline H & & & & & & & & & & & & \\ \hline I & & & & & & & &1 & & & & \\ \hline J & &1 & &1 &1 & &1 &1 & & & & \\ \hline K & & & & &1 & & & & & & & \\ \hline L & & & & & & & & & & & & \\ \hline \end{array} \require{AMScd} \begin{CD} @>转置>>\\ \end{CD} Trans=\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{12 \times12}} &A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L\\ \hline A &0 & & & & & & & & & & &\\ \hline B & &0 &\color{red}{1} &\color{red}{1} & &\color{red}{1} & & & &\color{red}{1} & & \\ \hline C & & &0 &\color{red}{1} & &\color{red}{1} & & & & & &\\ \hline D & & & &0 & &\color{red}{1} & & & & \color{red}{1}& &\\ \hline E & &\color{red}{1} & & & 0&\color{red}{1} &\color{red}{1} & & &\color{red}{1} &\color{red}{1} &\\ \hline F & & & & & &0 & & & & & &\\ \hline G & &\color{red}{1} & &\color{red}{1} & &\color{red}{1} &0 & & &\color{red}{1} & &\\ \hline H & & & &\color{red}{1} & &\color{red}{1} & &0 &\color{red}{1} &\color{red}{1} & &\\ \hline I & & & & & & & & &0 & & &\\ \hline J & & &\color{red}{1} &\color{red}{1} & & & & & &0 & &\\ \hline K & & &\color{red}{1} &\color{red}{1} & & & & & & &0&\\ \hline L &\color{red}{1} & & & & & & & & & & &0\\ \hline \end{array} $$

　　两者的并集，即两个矩阵相加:

$$ Add\_Matrix=(Ori + Trans)=\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{12 \times12}} &A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L\\ \hline A &0 & & & & & & & & & & &\color{blue}{1}\\ \hline B & &0 &\color{red}{1} &\color{red}{1} & \color{blue}{1}&\color{red}{1} & \color{blue}{1}& & &\color{red}{1} & &\\ \hline C & &\color{blue}{1} &0 &\color{red}{1} & &\color{red}{1} & & & &\color{blue}{1} &\color{blue}{1} &\\ \hline D & & \color{blue}{1}&\color{blue}{1} &0 & &\color{red}{1} &\color{blue}{1} &\color{blue}{1} &\color{red}{1} & \color{blue}{1}&\color{blue}{1} &\\ \hline E & &\color{red}{1} & & & 0&\color{red}{1} &\color{red}{1} & & &\color{red}{1} &\color{red}{1} &\\ \hline F & &\color{blue}{1} &\color{blue}{1} & \color{blue}{1}&\color{blue}{1} &0 &\color{blue}{1} &\color{blue}{1} & & & &\\ \hline G & &\color{red}{1} & &\color{red}{1} &\color{blue}{1} &\color{red}{1} &0 & & &\color{red}{1} & &\\ \hline H & & & &\color{red}{1} & &\color{red}{1} & &0 &\color{red}{1} &\color{red}{1} & &\\ \hline I & & & & & & & & \color{blue}{1} &0 & & &\\ \hline J & & \color{blue}{1}&\color{red}{1} & 1 & \color{blue}{1}& &\color{blue}{1} &\color{blue}{1} & &0 & &\\ \hline K & & &\color{red}{1} &\color{red}{1} &\color{blue}{1} & & & & & &0&\\ \hline L &\color{red}{1} & & & & & & & & & & &0\\ \hline \end{array} $$

　　$Add\_Matrix$矩阵的代表的意思为：把原始系统看成无向图，然后用有向图的方式表达出来。原始矩阵即任意$(a_{ij}=1) \rightsquigarrow (a_{ji}=1,a_{ij}=1)$

　　$Add\_Matrix$矩阵是一个沿着主对角线的对称矩阵。

　　$Add\_Matrix$中$a_{(DJ)}=1$用黑色表示，因为$D \leftrightsquigarrow J$两要素存在一个回路。

　　求$Add\_Matrix$可达矩阵$R_{Add}$

$$ R_{Add} =\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{12 \times12}} &A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L\\ \hline A &1 & & & & & & & & & & &1\\ \hline B & &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &\\ \hline C & &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &\\ \hline D & &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &\\ \hline E & &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &\\ \hline F & &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &\\ \hline G & &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &\\ \hline H & &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &\\ \hline I & &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &\\ \hline J & &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &\\ \hline K & &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &\\ \hline L &1 & & & & & & & & & & &1\\ \hline \end{array} $$

　　可达矩阵$R_{Add}$中的每一行对应一个区域即连通域。

　　要素$A的连通域为\{A,L\}$

　　要素$B的连通域为\{B,C,D,E,F,G,H,I,J,K\}$

　　……

　　遍历完所有的行，可知最大的连通区域是$\{B,C,D,E,F,G,H,I,J,K\}$

　　原始矩阵$Ori$删除$A,L$得到新的主连通区域系统。

$$ \require{cancel} Ori=\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c} {M_{12 \times12}} &\xcancel{A} &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &\xcancel{L}\\ \hline \xcancel{A} & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \xcancel{1}\\ \hline B &\xcancel{0} & & & &1 & &1 & & & & &\xcancel{0} \\ \hline C &\xcancel{0} &1 & & & & & & & &1 &1 &\xcancel{0} \\ \hline D & \xcancel{0} &1 &1 & & & &1 &1 & &1 &1 &\xcancel{0} \\ \hline E & \xcancel{0} & & & & & & & & & & & \xcancel{0} \\ \hline F & \xcancel{0} &1 &1 &1 &1 & &1 &1 & & & & \xcancel{0}\\ \hline G & \xcancel{0} & & & &1 & & & & & & & \xcancel{0} \\ \hline H &\xcancel{0} & & & & & & & & & & & \xcancel{0} \\ \hline I &\xcancel{0} & & & & & & &1 & & & & \xcancel{0} \\ \hline J &\xcancel{0} &1 & &1 &1 & &1 &1 & & & & \xcancel{0} \\ \hline K & \xcancel{0} & & & &1 & & & & & & & \xcancel{0} \\ \hline \xcancel{L} &\xcancel{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0} \\ \hline \end{array} \require{AMScd} \begin{CD} @>删除 A,L要素>> \\ \end{CD} Ori\_main=\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{10 \times10}} &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K\\ \hline B & & & &1 & &1 & & & &\\ \hline C &1 & & & & & & & &1 &1\\ \hline D &1 &1 & & & &1 &1 & &1 &1\\ \hline E & & & & & & & & & &\\ \hline F &1 &1 &1 &1 & &1 &1 & & &\\ \hline G & & & &1 & & & & & &\\ \hline H & & & & & & & & & &\\ \hline I & & & & & & &1 & & &\\ \hline J &1 & &1 &1 & &1 &1 & & &\\ \hline K & & & &1 & & & & & &\\ \hline \end{array} $$

　　可达矩阵$R$删除$A,L$得到新的主连通区域系统的可达矩阵。

$$ R=\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{12 \times12}} &\bcancel{A} &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K & \bcancel{L}\\ \hline \bcancel{A} &\bcancel{1} & \bcancel{0} &\bcancel{0} &\bcancel{0} &\bcancel{0} &\bcancel{0} &\bcancel{0} &\bcancel{0} &\bcancel{0} &\bcancel{0} &\bcancel{0} &\bcancel{1}\\ \hline B &\bcancel{0} &1 &0 &0 &1 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &\bcancel{0}\\ \hline C &\bcancel{0} &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1 &0 &1 &1 &\bcancel{0}\\ \hline D &\bcancel{0} &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1 &0 &1 &1 &\bcancel{0}\\ \hline E &\bcancel{0} &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &\bcancel{0}\\ \hline F &\bcancel{0} &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1 & \bcancel{0} \\ \hline G &\bcancel{0} &0 &0 &0 &1 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &\bcancel{0}\\ \hline H &\bcancel{0} &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &\bcancel{0}\\ \hline I &\bcancel{0} &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0 &0 &\bcancel{0}\\ \hline J &\bcancel{0} &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1 &0 &1 &1 &\bcancel{0}\\ \hline K &\bcancel{0} &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &\bcancel{0}\\ \hline \bcancel{L} &\bcancel{0} &\bcancel{0} &\bcancel{0} &\bcancel{0} &\bcancel{0} &\bcancel{0} &\bcancel{0} &\bcancel{0} &\bcancel{0} &\bcancel{0} &\bcancel{0} &\bcancel{1}\\ \hline \end{array} \begin{CD} @>删除 A,L要素>> \\ \end{CD} R\_main=\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{10 \times10}} &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K\\ \hline B &1 &0 &0 &1 &0 &1 &0 &0 &0 &0\\ \hline C &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1 &0 &1 &1\\ \hline D &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1 &0 &1 &1\\ \hline E &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline F &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1\\ \hline G &0 &0 &0 &1 &0 &1 &0 &0 &0 &0\\ \hline H &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0\\ \hline I &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0 &0\\ \hline J &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1 &0 &1 &1\\ \hline K &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &1\\ \hline \end{array} $$

找出回路

　　可以采用求解可达矩阵方式求出回路:

$$ R\_main=\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{10 \times10}} &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K\\ \hline B &1 &0 &0 &1 &0 &1 &0 &0 &0 &0\\ \hline C &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1 &0 &1 &1\\ \hline D &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1 &0 &1 &1\\ \hline E &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline F &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1\\ \hline G &0 &0 &0 &1 &0 &1 &0 &0 &0 &0\\ \hline H &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0\\ \hline I &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0 &0\\ \hline J &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1 &0 &1 &1\\ \hline K &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &1\\ \hline \end{array} $$

　　对上述可达矩阵转置:

$$ \begin{CD} @>转置>> \\ \end{CD} Trans-R\_main=\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{10 \times10}} &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K\\ \hline B &1 &\color{red}{1} &\color{red}{1} & &\color{red}{1} & & & &\color{red}{1} &\\ \hline C & &1 &\color{red}{1} & &\color{red}{1} & & & &\color{red}{1} &\\ \hline D & & \color{red}{1}&1 & &\color{red}{1} & & & &\color{red}{1} &\\ \hline E &\color{red}{1} &\color{red}{1} &\color{red}{1} &1 &\color{red}{1} &\color{red}{1} & & &\color{red}{1} &\color{red}{1}\\ \hline F & & & & &1 & & & & & \\ \hline G &\color{red}{1} &\color{red}{1} &\color{red}{1} & &\color{red}{1} &1 & & &\color{red}{1} &\\ \hline H & &\color{red}{1} &\color{red}{1} & &\color{red}{1} & &1 &\color{red}{1} &\color{red}{1} &\\ \hline I & & & & & & & &1 & &\\ \hline J & &\color{red}{1} &\color{red}{1} & &\color{red}{1} & & & &1 &\\ \hline K & &\color{red}{1} &\color{red}{1} & &\color{red}{1} & & & &\color{red}{1} &1\\ \hline \end{array} $$

　　求出$R\_main 和 Trans-R\_main$的交集矩阵:

$$ Meet= \begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{10 \times10}} &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K\\ \hline B &\color{blue}{1} & & & & & & & & &\\ \hline C & &\color{blue}{1} &\color{blue}{1} & & & & & &\color{blue}{1} &\\ \hline D & & \color{blue}{1} &\color{blue}{1} & & & & & &\color{blue}{1} &\\ \hline E & & & &\color{blue}{1} & & & & & & \\ \hline F & & & & &\color{blue}{1} & & & & & \\ \hline G & & & & & &\color{blue}{1} & & & &\\ \hline H & & & & & & &\color{blue}{1} & & &\\ \hline I & & & & & & & &\color{blue}{1} & &\\ \hline J & &\color{blue}{1} &\color{blue}{1} & & & & & &\color{blue}{1} &\\ \hline K & & & & & & & & & &\color{blue}{1} \\ \hline \end{array} $$

　　$Meet$矩阵中的每一行对应一个强连通域。当强连通域的要素大于等于两个时，该强连通区域叫回路。

　　B要素对应的行：$\{B\}$ 则B为一个强连通子集，只包含$B$要素，非回路。

　　……

　　从交集矩阵得出一条回路为：$\{C,D,J\}$

$$ \begin{CD} @>合并回路要素\{C,D,J\}>> \\ \end{CD} \begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{8 \times8}} &B & \fbox{C＋D＋J} &E &F &G &H &I &K\\ \hline B &1 &0 &1 &0 &1 &0 &0 &0\\ \hline \fbox{C＋D＋J}&1 &1=\pmatrix{1&1&1 \cr 1&1&1 \cr 1&1&1} &1 &0 &1 &1 &0 &1\\ \hline E &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline F &1 &1 &1 &1 &1 &1 &0 &1\\ \hline G &0 &0 &1 &0 &1 &0 &0 &0\\ \hline H &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0\\ \hline I &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0\\ \hline K &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &1\\ \hline \end{array} $$

　　把回路用一个要素该矩阵即为有向无环图DAG:

求解骨架矩阵

　　DAG，的骨架矩阵由下列公式计算得到

　　$S=R-(R-I)^2-I$

$$ \begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{8 \times8}} &B & \fbox{C＋D＋J} &E &F &G &H &I &K\\ \hline B &1 &0 &1 &0 &1 &0 &0 &0\\ \hline \fbox{C＋D＋J}&1 &1 &1 &0 &1 &1 &0 &1\\ \hline E &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline F &1 &1 &1 &1 &1 &1 &0 &1\\ \hline G &0 &0 &1 &0 &1 &0 &0 &0\\ \hline H &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0\\ \hline I &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0\\ \hline K &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &1\\ \hline \end{array} $$

$$ \begin{CD} @>S=R-(R-I)^2-I>> \\ \end{CD} \begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{8 \times8}} &B &\fbox{C＋D＋J} &E &F &G &H &I &K\\ \hline B &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0\\ \hline \fbox{C＋D＋J} &1 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &1\\ \hline E &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline F &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline G &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline H &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline I &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0\\ \hline K &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline \end{array} $$

把回路迭代回骨架矩阵中即为一般性骨架矩阵

$$ \begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{8 \times8}} &B &\fbox{C＋D＋J} &E &F &G &H &I &K\\ \hline B &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0\\ \hline \fbox{C＋D＋J} &\color{red}{1} &\pmatrix{0&1&0 \cr 0&0&1 \cr 1&0&0} &0 &0 &0 &\color{red}{1} &0 &\color{red}{1}\\ \hline E &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline F &0 &\color{blue}{1} &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline G &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline H &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline I &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0\\ \hline K &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline \end{array} $$

　　回路迭代回去时，有三个原则：

　　第一、回路系统中有向边的数目等于要素数目，如上例回路矩阵中只有3个为1的值，通常用最对角线右上的$n-1$个格子设定为1，另外最左下角矩阵的值设定为1。

　　第二、蓝色标注为1的部分，迭代回去时，有且只有一条指向回路的任意一个要素，且最好原始矩阵存在该要素，本例对应的原始矩阵为$Ori\_main$。

　　第三、红色标注为1的部分，迭代回去时，回路有且只能发出一条指向目标要素的有向边，且最好原始矩阵存在该要素，本例对应的原始矩阵为$Ori\_main$。

　　注意下列同色色块有且只有一个为1值额外的为0！

$$ \begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{10 \times10}} &B &C &D &J &E &F &G &H &I &K\\ \hline B & & & & & & &1 & & &\\ \hline C &{\bbox[#AAAA11,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}\alpha }} &{\bbox[#DD80FF,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}0 }} &{\bbox[#DD80FF,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}1 }} &{\bbox[#DD80FF,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}0}} & & & &{\bbox[#DD10A1,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}\epsilon }} & &{\bbox[#ffF011,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}\iota }}\\ \hline D &{\bbox[#AAAA11,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}\alpha }} & {\bbox[#DD80FF,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}0 }}&{\bbox[#DD80FF,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}0 }} &{\bbox[#DD80FF,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue} 1 }} & & & &{\bbox[#DD10A1,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}\epsilon }} & &{\bbox[#ffF011,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}\iota }}\\ \hline J &{\bbox[#AAAA11,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}\alpha }} &{\bbox[#DD80FF,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}1 }} &{\bbox[#DD80FF,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}0 }} &{\bbox[#DD80FF,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}0 }} & & & & {\bbox[#DD10A1,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}\epsilon }}& &{\bbox[#ffF011,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}\iota }}\\ \hline E & & & & & & & & & &\\ \hline F & &{\bbox[#11f0f1,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}\mu }} & {\bbox[#11f0f1,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}\mu }} &{\bbox[#11f0f1,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}\mu }} & & & & & &\\ \hline G & & & & &1 & & & & &\\ \hline H & & & & & & & & & &\\ \hline I & & & & & & & &1 & &\\ \hline K & & & & &1 & & & & &\\ \hline \end{array} $$

　　根据原始矩阵$Ori\_main$情况从同色色块中只取出一个为1的值结果如下。

$$ \begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{10 \times10}} &B &C &D &J &E &F &G &H &I &K\\ \hline B & & & & & & &1 & & &\\ \hline C &{\bbox[#ff1011,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}1 }} &{\bbox[#DD80FF,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}0 }} &{\bbox[#DD80FF,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}1 }} &{\bbox[#DD80FF,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}0}} & & & & & &{\bbox[#ff1011,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}1 }}\\ \hline D & & {\bbox[#DD80FF,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}0 }}&{\bbox[#DD80FF,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}0 }} &{\bbox[#DD80FF,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue} 1 }} & & & &{\bbox[#ff1011,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}1 }} & &\\ \hline J & &{\bbox[#DD80FF,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}1 }} &{\bbox[#DD80FF,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}0 }} &{\bbox[#DD80FF,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}0 }} & & & & & &\\ \hline E & & & & & & & & & &\\ \hline F & &{\bbox[#11f0f1,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}1 }} & & & & & & & &\\ \hline G & & & & &1 & & & & &\\ \hline H & & & & & & & & & &\\ \hline I & & & & & & & &1 & &\\ \hline K & & & & &1 & & & & &\\ \hline \end{array} $$

　　上述矩阵称为一般性骨架矩阵，该矩阵大部分情况下不唯一。其特点是矩阵具有最少的有向边。等价的一般性骨架矩阵都跟回路有关。如下面一个等价的一般性骨架矩阵。

$$ \begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{10 \times10}} &B &C &D &J &E &F &G &H &I &K\\ \hline B & & & & & & &1 & & &\\ \hline C &{\bbox[#ff1011,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}1 }} &{\bbox[#DD80FF,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}0 }} &{\bbox[#DD80FF,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}1 }} &{\bbox[#DD80FF,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}0}} & & & & & &{\bbox[#ff1011,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}1 }}\\ \hline D & & {\bbox[#DD80FF,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}0 }}&{\bbox[#DD80FF,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}0 }} &{\bbox[#DD80FF,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue} 1 }} & & & & & &\\ \hline J & &{\bbox[#DD80FF,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}1 }} &{\bbox[#DD80FF,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}0 }} &{\bbox[#DD80FF,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}0 }} & & & &{\bbox[#ff1011,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}1 }} & &\\ \hline E & & & & & & & & & &\\ \hline F & &{\bbox[#11f0f1,border:2px green dotted,2pt] { \color{blue}1 }} & & & & & & & &\\ \hline G & & & & &1 & & & & &\\ \hline H & & & & & & & & & &\\ \hline I & & & & & & & &1 & &\\ \hline K & & & & &1 & & & & &\\ \hline \end{array} $$

　　上述所有计算，得到的是一个一般性骨架矩阵；即不缩点的情况下，得到的骨架矩阵。也可以称为系统的菊花链求解。

　　如果系统为一个大回路，最终该系统体现为一个回路菊花链

　　如果系统为一个DAG，最终该系统体现为一个线性菊花链

　　如果系统为包含回路的系统，最终该系统体现为一个混合型的菊花链拓扑结构

　　有向菊花链拓扑的本质，边的数目最少。即一个要素$X$存在指向另外一个要素$Y$的有向边，则在非循环菊花链中必定不存在，$X\rightarrow \ldots \rightarrow Y$的可达路径！

　　经典的ISM方法层次化是通过可达集合，先行集合，共同集合来进行的。也是ISM建模中最核心的必不可少的内容！

$$ \begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{8 \times8}} &B &\fbox{C＋D＋J} &E &F &G &H &I &K\\ \hline B &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0\\ \hline \fbox{C＋D＋J} &\color{red}{1} &0 &0 &0 &0 &\color{red}{1} &0 &\color{red}{1}\\ \hline E &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline F &0 &\color{blue}{1} &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline G &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline H &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline I &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0\\ \hline K &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline \end{array} $$　　

$$ \begin{CD} @>加上单位矩阵>> \\ \end{CD} \begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{8 \times8}} &B &\fbox{C＋D＋J} &E &F &G &H &I &K\\ \hline B &1 &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0\\ \hline \fbox{C＋D＋J} &\color{red}{1} &1 &0 &0 &0 &\color{red}{1} &0 &\color{red}{1}\\ \hline E &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline F &0 &\color{blue}{1} &0 &1 &0 &0 &0 &0\\ \hline G &0 &0 &1 &0 &1 &0 &0 &0\\ \hline H &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0\\ \hline I &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0\\ \hline K &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &1\\ \hline \end{array} $$　　

　　在矩阵$M$中取要素$K$,该要素的可达集合记作$R(K)$。$R(K)=\{E,K\}$ 可达集合为K要素所在行，矩阵值为1对应的要素。

　　在矩阵$M$中取要素$K$,该要素的先行集合记作$Q(K)$。$Q(K)=\{\fbox{C,D,J},K\}$ 先行集合为K要素所在列，矩阵值为1对应的要素。

　　在矩阵$M$中取要素$K$，该要素的共同集合记作$T(K)$。$T(K)=R(K)\cap Q(K) $ 即 $T(K)=\{K\}$

　　经典ISM的层级抽取规则为：$ T(e_i)=R(e_i) $方式进行也可以叫结果优先的层级划分规则。其原理是把结果要素抽取出来放置在顶层的方式进行。

　　操作的矩阵有如下特点：

　　第一、矩阵必须包含单位矩阵，即主对角线全部为1。

　　第二、DAG即无回路矩阵，骨架矩阵跟可达矩阵用$ T(e_i)=R(e_i) $的层级划分规则得出的结果一致。

　　第三、包含回路的系统，要用可达矩阵通过$ T(e_i)=R(e_i) $的规则来获得层级分布。

　　运用$ T(e_i)=R(e_i) $规则对包含单位矩阵的骨架矩阵进行层级划分

$$ \begin{array} {c|c|c|c}{要素} & 可达集合R(e_i)　& 先行集合Q(e_i) & 共同集合T(e_i) & T(e_i)=R(e_i)\\ \hline B &\color{red}{B,G} &\color{blue}{B,\fbox{C,D,J} } & B & ≠ \\ \hline \fbox{C,D,J} &\color{red}{B,\fbox{C,D,J},H,K} &\color{blue}{\fbox{C,D,J},F } & \fbox{C,D,J} & ≠ \\ \hline E &\color{red}{E} &\color{blue}{E,G,K} & E & R(E)＝T(E) \\ \hline F &\color{red}{\fbox{C,D,J},F} &\color{blue}{F} & F & ≠ \\ \hline G &\color{red}{E,G} &\color{blue}{B,G} & G & ≠ \\ \hline H &\color{red}{H} &\color{blue}{\fbox{C,D,J},H,I} & H & R(H)＝T(H) \\ \hline I &\color{red}{H,I} &\color{blue}{I} & I & ≠ \\ \hline K &\color{red}{E,K} &\color{blue}{\fbox{C,D,J},K} & K & ≠ \\ \hline \end{array} \Longleftrightarrow \leftrightsquigarrow \begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{8 \times8}} &B &\fbox{C＋D＋J} &E &F &G &H &I &K\\ \hline B &1 &0 &0 &0 &1 &0 &0 &0\\ \hline \fbox{C＋D＋J} &\color{red}{1} &1 &0 &0 &0 &\color{red}{1} &0 &\color{red}{1}\\ \hline E &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline F &0 &\color{blue}{1} &0 &1 &0 &0 &0 &0\\ \hline G &0 &0 &1 &0 &1 &0 &0 &0\\ \hline H &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0\\ \hline I &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0\\ \hline K &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &1\\ \hline \end{array} $$

　　抽取${E,H}$要素，放置上层。

$$ \begin{array} {c|c|c|c}{要素} & 可达集合R(e_i)　& 先行集合Q(e_i) & 共同集合T(e_i) & T(e_i)=R(e_i)\\ \hline B &\color{red}{B,G} &\color{blue}{B,\fbox{C,D,J} } & B & ≠ \\ \hline \fbox{C,D,J} &\color{red}{B,\fbox{C,D,J},K} &\color{blue}{\fbox{C,D,J},F } & \fbox{C,D,J} & ≠ \\ \hline F &\color{red}{\fbox{C,D,J},F} &\color{blue}{F} & F & ≠ \\ \hline G &\color{red}{G} &\color{blue}{B,G} & G & R(G)＝T(G) \\ \hline I &\color{red}{I} &\color{blue}{I} & I & R(I)＝T(I) \\ \hline K &\color{red}{K} &\color{blue}{\fbox{C,D,J},K} & K & R(K)＝T(K) \\ \hline \end{array} \leftrightsquigarrow \Longleftrightarrow \begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{6 \times6}} &B &\fbox{C＋D＋J} &F &G &I &K\\ \hline B &1 &0 &0 &1 &0 &0\\ \hline \fbox{C＋D＋J} &\color{red}{1} &1 &0 &0 &0 &\color{red}{1}\\ \hline F &0 &\color{blue}{1} &1 &0 &0 &0\\ \hline G &0 &0 &0 &1 &0 &0\\ \hline I &0 &0 &0 &0 &1 &0\\ \hline K &0 &0 &0 &0 &0 &1\\ \hline \end{array} $$

　　抽取${G,I,K}$要素。

$$ \begin{array} {c|c|c|c}{要素} & 可达集合R(e_i)　& 先行集合Q(e_i) & 共同集合T(e_i) & T(e_i)=R(e_i)\\ \hline B &\color{red}{B} &\color{blue}{B,\fbox{C,D,J} } & B & R(B)＝T(B) \\ \hline \fbox{C,D,J} &\color{red}{B,\fbox{C,D,J}} &\color{blue}{\fbox{C,D,J},F } & \fbox{C,D,J} & ≠ \\ \hline F &\color{red}{\fbox{C,D,J},F} &\color{blue}{F} & F & ≠ \\ \hline \end{array} \leftrightsquigarrow \Longleftrightarrow \begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{3 \times3}} &B &\fbox{C＋D＋J} &F \\ \hline B &1 &0 &0 \\ \hline \fbox{C＋D＋J} &\color{red}{1} &1 &0 \\ \hline F &0 &\color{blue}{1} &1 \\ \hline \end{array} $$

　　抽取${B}$要素。

$$ \begin{array} {c|c|c|c}{要素} & 可达集合R(e_i)　& 先行集合Q(e_i) & 共同集合T(e_i) & T(e_i)=R(e_i)\\ \hline \fbox{C,D,J} &\color{red}{\fbox{C,D,J}} &\color{blue}{\fbox{C,D,J},F } & \fbox{C,D,J} & R(\fbox{C,D,J})＝T(\fbox{C,D,J}) \\ \hline F &\color{red}{\fbox{C,D,J},F} &\color{blue}{F} & F & ≠ \\ \hline \end{array} \leftrightsquigarrow \Longleftrightarrow \begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{2 \times2}} &\fbox{C＋D＋J} &F \\ \hline \fbox{C＋D＋J} &1 &0 \\ \hline F &\color{blue}{1} &1 \\ \hline \end{array} $$

　　抽取${C,D,J}$要素。

$$ \begin{array} {c|c|c|c}{要素} & 可达集合R(e_i)　& 先行集合Q(e_i) & 共同集合T(e_i) & T(e_i)=R(e_i)\\ \hline F &\color{red}{F} &\color{blue}{F} & F & T(F)=R(F) \\ \hline \end{array} \leftrightsquigarrow \Longleftrightarrow \begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{1 \times1}} &F \\ \hline F &1 \\ \hline \end{array} $$

　　抽取${F}$要素。

$$ \emptyset \leftrightsquigarrow \Longleftrightarrow \emptyset $$

　　抽取出的要素，其所处层级如下：