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对函数$dist(\cdot,\cdot)$，若它是一个“距离度量”（distance measure），则需满足一些基本性质：
非负性(Positive)：$dist(\textbf{x},\textbf{y})\ge0$
同一性(Reflexive)：$dist(\textbf{x},\textbf{y})=0$ 当且仅当 $\textbf{x}=\textbf{y}$
对称性(Symmetric)： $ dist(\textbf{x},\textbf{y})=dist(\textbf{y},\textbf{x}) $
三角直递性(Triangular inequation)： $ dist(\textbf{x},\textbf{y})\le dist(\textbf{x},\textbf{z})+dist(\textbf{z},\textbf{y}) $
对函数$ sim(\cdot,\cdot)$，若它是一个归一化“相似性度量”（similarity measure），则有以下一些基本性质：
$sim(\textbf{x},\textbf{y})\in[0,1]$
值为1的确定：$ sim(\textbf{x},\textbf{y})=1$ 当且仅当 $\textbf{x}=\textbf{y}$
值为0的情况 $ sim(\textbf{x},\textbf{y})=0 $当且仅当 $\textbf{x}$ 和 $\textbf{y}$ 完全不一样
通常可以通过距离来定义相似性： $$ sim(\textbf{x},\textbf{y})=1-dist(\textbf{x},\textbf{y}) $$
$$sim(\textbf{x},\textbf{y})=\frac{1}{\large{dist(\textbf{x},\textbf{y})}} $$
定义 如果${V}$是数域$ {K}$上的线性空间，且对于${V}$的任一向量${\chi}$，对应一个实值函数$\parallel\chi\parallel$，它满足以下三个条件:
非负性：$当{\chi}\neq 0$时 $\parallel\chi\parallel\gt0$;当 ${\chi}=0$时 $\parallel\chi\parallel=0$;
齐次性：$\parallel\alpha\chi\parallel=|\alpha|\parallel\chi\parallel$
三角不等式： $ \parallel\chi+\zeta\parallel\le\parallel\chi\parallel+\parallel\zeta\parallel $
则称 $\parallel\chi\parallel $ 为$ V$上 $\chi$的范数（norm）。
设向量$ \chi=(\xi_1,\xi_2,\cdot\cdot\cdot,\xi_n) $，则有
1范数：
$$ \parallel\chi\parallel=\sum_{i=1}^n|\xi_i| $$
2范数（欧式范数）：
$$ \parallel\chi\parallel_2=\sqrt{|{\xi}_1|^2+|{\xi}_2|^2+\cdot\cdot\cdot+|{\xi}_n|^2} $$
$ \infty $范数：
$$ \parallel\chi\parallel_\infty=\underline{max}_{i}|\xi_i| $$
p范数：
$$ \parallel\chi\parallel_p=(\sum_{i=1}^n|\xi_i|^p)^{\frac{1}p}，1\leq p\lt+\infty $$
距离、相似性、向量范数在很多种情况下是可以互相转化的。
下面按照句法相似性（syntactic similarities）介绍一些距离测度、相似性测度家族：
假设$\textbf P=(P_1,P_2,\cdot\cdot\cdot,P_d), \textbf Q=(Q_1,Q_2, \cdot\cdot\cdot,Q_d)$
第一大类：Minkowski family (闵可夫斯基距离测度家族) $ L_p $
欧几里得距离 $$ Euclidean \quad L_2 \qquad \qquad d_{Euc}=\sqrt{\sum_{i=1}^d|P_i-Q_i|^2} $$
曼哈顿距离$$ City \quad block \quad L_1 \qquad \qquad d_{CB}=\sum_{i=1}^d|P_i-Q_i| $$
闵可夫斯基距离$$ Minkowski \quad L_p \qquad \qquad d_{MK}=({\sum_{i=1}^d|P_i-Q_i|^p})^{\frac{1}p} $$
切比雪夫$$ Chebyshev \quad L_\infty \qquad \qquad d_{Cheb}=max_i|P_i-Q_i| $$
第二大类：$ L_1 $ family ($ L_1 $范数测度家族)
索伦森指数$$ Sorensen \quad d_{sor}=\frac{\sum_\limits {i=1}^d{(P_i-Q_i)}}{\sum_\limits {i=1}^d{(P_i+Q_i)}} $$
高尔距离,高氏距离$$ Gower \quad d_{gow}=\frac{1}{d}\sum_{i=1}^d{\frac{|P_i-Q_i|}{R_i}}=\frac{1}{d}\sum_{i=1}^d{|P_i-Q_i|} $$
泽格尔 距离 丰度 $$ Soergel \quad d_{sg}=\frac{\sum_\limits{i=1}^d|P_i-Q_i|}{\sum_\limits {i=1}^dmax(P_i-Qi)} $$
卡克辛斯基 距离 $$ Kulczynski \quad d_{kul}=\frac{\sum_\limits{i=1}^d|P_i-Q_i|}{\sum_\limits{i=1}^dmin(P_i,Q_i)} $$
堪培拉 距离 $$ Canberra \quad d_{Can}=\sum_\limits{i=1}^d{\frac{|P_i-Q_i|}{P_i+Q_i}} $$
洛伦兹 距离 $$ Lorentzian \quad d_{Lor}=\sum_ \limits {i=1}^dln(1+|P_i-Q_i|) $$
第三大类：Intersection family（集合测度家族）
交集覆盖度 $$ Intersection \quad s_{IS}=\sum_{i=1}^dmin(P_i,Q_i) \quad d_{non-IS}=1-s_{IS}=\frac{1}2\sum_{i=1}^d|P_i-Q_i| $$
波浪篱笆 $$ Wave Hedges \quad d_{WH}=\sum_{i=1}^d(1-\frac{min(P_i,Q_i)}{max(P_i,Q_i)})=\sum_{i=1}^d{\frac{|P_i-Q_i|}{max(P_i,Q_i)}} $$
泽卡诺夫斯基 $$ Czekanowski \quad s_{Cze}=\frac{2\sum\limits_{i=1}^dmin(P_i,Q_i)}{\sum\limits_{i=1}^d(P_i+Q_i)} , \quad d_{Cze}=1-s_{Cze}=\frac{\sum\limits_{i=1}^d|P_i-Q_i|}{\sum\limits_{i=1}^d(P_i+Q_i)} $$
莫蒂卡 $$ Motyka \quad s_{Mot}=\frac{\sum\limits_{i=1}^dmin(P_i,Q_i)}{\sum\limits_{i=1}^d(P_i+Q_i)} , \quad d_{Mot}=1-s_{Mot}=\frac{\sum\limits_{i=1}^d max(P_i,Q_i)}{\sum\limits_{i=1}^d(P_i+Q_i)} $$
(两次用到)卡克辛斯基 $$ Kulczynski \quad d_{kul}=\frac{\sum_\limits{i=1}^d|P_i-Q_i|}{\sum_\limits{i=1}^dmin(P_i,Q_i)} $$
鲁茨卡 $$ Ruzicka \quad s_{Ruz}=\frac{\sum\limits_{i=1}^dmin(P_i,Q_i)}{\sum\limits_{i=1}^dmax(P_i,Q_i)} $$
谷本 $$ Tanimoto \quad d_{Tani}=\frac{\sum\limits_{i=1}^dP_i+\sum\limits_{i=1}^dQ_i-2\sum\limits_{i+1}^dmin(P_i,Q_i)}{\sum\limits_{i=1}^dP_i+\sum\limits_{i=1}^dQ_i-\sum\limits_{i+1}^dmin(P_i,Q_i)}=\frac{\sum\limits_{i=1}^d(max(P_i,Q_i)-min(P_i,Q_i))}{\sum\limits_{i=1}^dmax(P_i,Q_i)} $$
第四大类：Inner Product family （内积测度家族）
内积 $$ Inner \quad Product \quad s_{IP}=P\cdot Q=\sum\limits_{i=1}^dP_iQ_i $$
调和平均数 $$ Harmonic \quad mean \quad s_{HM}=2\sum_{i=1}^d\frac{P_iQ_i}{P_i+Q_i}$$
余弦 $$ Cosine \quad s_{Cos}=\frac{\sum\limits_{i=1}^dP_iQ_i}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^dP_i^2}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^dQ_i^2}} $$
杰卡德系数 $$ Jaccard \quad s_{Jac}=\frac{\sum\limits_{i=1}^dP_iQ_i}{\sum\limits_{i=1}^dP_i^2+\sum\limits_{i=1}^dQ_i^2-\sum\limits_{i=1}^dP_iQ_i}, \quad d_{Jac}=1-s_{Jac}=\frac{\sum\limits_{i=1}^d(P_i-Q_i)^2}{\sum\limits_{i=1}^dP_i^2+\sum\limits_{i=1}^dQ_i^2-\sum\limits_{i=1}^dP_iQ_i} $$
骰子 $$ Dice \quad s_{Dice}=\frac{2\sum\limits_{i=1}^dP_iQ_i}{\sum\limits_{i=1}^d{P_i^2}+\sum\limits_{i=1}^d{Q_i^2}}, \quad d_{Dice}=1-s_{Dice}=\frac{\sum\limits_{i=1}^d(P_i-Q_i)^2}{\sum\limits_{i=1}^d{P_i^2}+\sum\limits_{i=1}^d{Q_i^2}} $$
第五大类：Fidelity family or Squared-chord family（保真度或者方弦家族）
逼真度 $$ Fidelity \quad s_{Fid}=\sum_{i=1}^d\sqrt{P_iQ_i} $$
巴氏 巴塔查里亚 $$ Bhattacharyya \quad d_B=-ln\sum_{i=1}^d\sqrt{P_iQ_i} $$
海林格 $$ Hellinger \quad d_{H}=\sqrt{2\sum_{i=1}^d(\sqrt{P_i}-\sqrt{Q_i})^2}=2\sqrt{1-\sum_{i=1}^d\sqrt{P_iQ_i}} $$
马图斯塔 杰弗里斯-松下 $$ Matusita \quad d_M=\sqrt{\sum_{i=1}^d(\sqrt{P_i}-\sqrt{Q_i})^2}=\sqrt{2-2\sum_{i=1}^d\sqrt{P_iQ_i}} $$
正方弦 $$ Squared-chord \quad d_{sqc}=\sum_{i=1}^d(\sqrt{P_i}-\sqrt{Q_i})^2 , \quad s_{sqc}=1-d_{sqc}=2\sum_{i=1}^d\sqrt{P_iQ_i}-1 $$
第六大类：Squared $ L_2$ family or $\chi^2$family（ $ L_2$ 平方家族或者 $\chi^2$家族）
方形欧几里德 $$ Squared Euclidean \quad d_{sqe}=\sum_{i=1}^d(P_i-Q_i)^2 $$
皮尔逊 $$ Pearson \quad d_P(P,Q)=\sum_{i=1}^d\frac{(P_i-Q_i)^2}{Q_i} $$
奈曼分布 $$ Neyman \quad d_N(P,Q)=\sum_{i=1}^d\frac{(P_i-Q_i)^2}{P_i} $$
方差分布 $$ Neyman \quad d_{SqChi}=\sum_{i=1}^d\frac{(P_i-Q_i)^2}{P_i+Q_i} $$
概率对称 $$ Probabilistic \quad Symmetric \quad d_{PChi}=2\sum_{i=1}^d\frac{(P_i-Q_i)^2}{P_i+Q_i} $$
张量 $$ Divergence \quad d_{Div}=2\sum_{i=1}^d\frac{(P_i-Q_i)^2}{(P_i+Q_i)^2} $$
克拉克邻近 $$ Clark \quad d_{Clk}=\sqrt{\sum_{i=1}^d(\frac{|P_i-Q_i|}{P_i+Q_i})^2} $$
加法映射 $$ Additive \quad Symmetric \quad d_{AdChi}=\sum_{i=1}^d\frac{(P_i-Q_i)^2(P_i+Q_i)}{P_iQ_i} $$
第七大类：Shannon’s entropy family（香农信息熵家族）
KL散度 $$ Kullback-Leibler \quad d_{KL}=\sum_{i=1}^dP_iln\frac{P_i}{Q_i} $$
杰弗里斯 $$ Jeffreys \quad d_J=\sum_{i=1}^d(P_i-Q_i)ln\frac{P_i}{Q_i} $$
K发散 $$ K-divergence \quad d_{Kdiv}=\sum_{i=1}^dP_iln\frac{2P_i}{P_i+Q_i} $$
托普索 $$ Topsoe \quad d_{Top}=\sum_{i=1}^d(P_iln(\frac{2P_i}{P_i+Q_i})+Q_iln(\frac{2Q_i}{P_i+Q_i})) $$
詹森-香农 $$ Jensen-Shannon \quad d_{JS}=\frac{1}{2}[\sum_{i=1}^dP_iln(\frac{2P_i}{P_i+Q_i})+\sum_{i=1}^dQ_iln(\frac{2Q_i}{P_i+Q_i})] $$
詹森差 $$ Jensen difference \quad d_{JD}=\sum_{i=1}^d[\frac{P_ilnP_i+Q_ilnQ_i}{2}-(\frac{P_i+Q_i}{2})ln(\frac{P_i+Q_i}{2})] $$
第八大类：Combinations （组合类型）
内加 $$ Taneja \quad d_{TJ}=\sum_{i=1}^d(\frac{P_i+Q_i}{2})ln(\frac{P_i+Q_i}{2\sqrt{P_iQ_i}}) $$
库马尔 - 约翰逊 $$ Kumar-Johnson \quad d_{KJ}=\sum_{i=1}^d(\frac{(P_i^2-Q_i^2)^2}{2(P_iQ_i)^{3/2}}) $$
均值 $$ Avg(L_1,L_{\infty}) \quad d_{ACC}=\frac{\sum\limits_{i=1}^d|P_i-Q_i|+max(|P_i-Q_i|)}{2} $$
第九大类：Vicissitude （一些变种）
$$ Vicis-Wave \quad Hedges \quad d_{emanon1}=\sum_{i=1}^d\frac{|P_i-Q_i|}{min(P_i,Q_i)} $$
$$ Vicis-Symmetric \quad d_{emanon2}=\sum_{i=1}^d\frac{(P_i-Q_i)^2}{min(P_i,Q_i)^2} $$
$$ \quad d_{emanon3}=\sum_{i=1}^d\frac{(P_i-Q_i)^2}{min(P_i,Q_i)} $$
$$ \quad d_{emanon4}=\sum_{i=1}^d\frac{(P_i-Q_i)^2}{max(P_i,Q_i)} $$
$$ max-Symmetric \quad d_{emanon5}=max(\sum_{i=1}^d\frac{(P_i-Q_i)^2}{P_i},\sum_{i=1}^d\frac{(P_i-Q_i)^2}{Q_i}) $$