粗糙集区间与模糊算子对如下
$$ \begin{array} {c|c}{rough} & 区间下界 sup & 区间上界 sub \\ \hline 值 &\color{red}{0.3} &\color{blue}{0.7} \\ \hline \end{array} $$
$$ \begin{array} {c|c}{OP} & 模糊乘 \odot & 模糊加 \oplus \\ \hline 名称 &\color{red}{取最小} &\color{blue}{取最大} \\ \hline 计算公式 &\color{red}{min(p,q)} &\color{blue}{max(p,q) } \\ \hline \end{array} $$
模糊相乘矩阵
$$\tilde B=\begin{array} {c|c|c}{M_{10 \times10}} &甲 &乙 &丙 &丁 &戊 &己 &庚 &辛 &壬 &癸\\ \hline 甲 &1 &0.4 &0.6 &0.2 &0.51 &0.42 &0.62 &0.15 &0.6 &0.26\\ \hline 乙 &0.37 &1 &0.72 &0 &0.91 &0.69 &0.78 &0.39 &0.1 &0.82\\ \hline 丙 &0.19 &0.6 &1 &0 &0.5 &0.27 &0 &0 &0.46 &0.51\\ \hline 丁 &0.6 &0.13 &0.35 &1 &0.82 &0.69 &0.7 &0.49 &0.2 &0.41\\ \hline 戊 &0.94 &0.08 &0.04 &0.81 &1 &0.18 &0 &0.6 &0.98 &0\\ \hline 己 &0.46 &1 &0.07 &0 &0.66 &1 &0.78 &0 &0.03 &0.15\\ \hline 庚 &0.34 &0.34 &0.84 &0.84 &0.87 &0.03 &1 &0.12 &0.39 &0\\ \hline 辛 &0.82 &0.78 &0.44 &0.11 &0.15 &0.86 &0.04 &1 &0 &0.75\\ \hline 壬 &0.67 &0.85 &0.66 &0.27 &0.02 &0.58 &0.67 &0.46 &1 &0.96\\ \hline 癸 &0.7 &0.96 &0.93 &0.16 &0.71 &0.63 &0.46 &0.59 &0.45 &1\\ \hline \end{array} $$
截域后的模糊相乘矩阵
$$F_{0.3-0.7}=\begin{array} {c|c|c}{M_{10 \times10}} &甲 &乙 &丙 &丁 &戊 &己 &庚 &辛 &壬 &癸\\ \hline 甲 &1 &0.4 &0.6 &0 &0.51 &0.42 &0.62 &0 &0.6 &0\\ \hline 乙 &0.37 &1 &1 &0 &1 &0.69 &1 &0.39 &0 &1\\ \hline 丙 &0 &0.6 &1 &0 &0.5 &0 &0 &0 &0.46 &0.51\\ \hline 丁 &0.6 &0 &0.35 &1 &1 &0.69 &0.7 &0.49 &0 &0.41\\ \hline 戊 &1 &0 &0 &1 &1 &0 &0 &0.6 &1 &0\\ \hline 己 &0.46 &1 &0 &0 &0.66 &1 &1 &0 &0 &0\\ \hline 庚 &0.34 &0.34 &1 &1 &1 &0 &1 &0 &0.39 &0\\ \hline 辛 &1 &1 &0.44 &0 &0 &1 &0 &1 &0 &1\\ \hline 壬 &0.67 &1 &0.66 &0 &0 &0.58 &0.67 &0.46 &1 &1\\ \hline 癸 &0.7 &1 &1 &0 &1 &0.63 &0.46 &0.59 &0.45 &1\\ \hline \end{array} $$
取出的模糊可达矩阵
$$\tilde R=\begin{array} {c|c|c}{M_{10 \times10}} &甲 &乙 &丙 &丁 &戊 &己 &庚 &辛 &壬 &癸\\ \hline 甲 &1 &0.62 &0.62 &0.62 &0.62 &0.62 &0.62 &0.6 &0.62 &0.62\\ \hline 乙 &1 &1 &1 &1 &1 &0.69 &1 &0.6 &1 &1\\ \hline 丙 &0.6 &0.6 &1 &0.6 &0.6 &0.6 &0.6 &0.6 &0.6 &0.6\\ \hline 丁 &1 &1 &1 &1 &1 &0.69 &1 &0.6 &1 &1\\ \hline 戊 &1 &1 &1 &1 &1 &0.69 &1 &0.6 &1 &1\\ \hline 己 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &0.6 &1 &1\\ \hline 庚 &1 &1 &1 &1 &1 &0.69 &1 &0.6 &1 &1\\ \hline 辛 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 壬 &1 &1 &1 &1 &1 &0.69 &1 &0.6 &1 &1\\ \hline 癸 &1 &1 &1 &1 &1 &0.69 &1 &0.6 &1 &1\\ \hline \end{array} $$
$$ 阈值集合\ddot \Delta = (0.6, 0.62, 0.69, 1) $$
求解出所有的对应的截矩阵
取截距的定义$$ r _{ij}= \left\{ \begin{array}{ll}1 & \textrm{当：$ \tilde r_{ij} ≥\lambda $}\\ 0 & \textrm{当：$ \tilde r_{ij} < \lambda $ } \end{array} \right.$$
当前的截距 $\lambda$ = 0.6
$$M_{0.6} =\begin{array} {c|c|c}{M_{10 \times10}} &甲 &乙 &丙 &丁 &戊 &己 &庚 &辛 &壬 &癸\\ \hline 甲 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 乙 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 丙 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 丁 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 戊 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 己 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 庚 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 辛 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 壬 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 癸 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline \end{array} $$
当前的截距 $\lambda$ = 0.62
$$M_{0.62} =\begin{array} {c|c|c}{M_{10 \times10}} &甲 &乙 &丙 &丁 &戊 &己 &庚 &辛 &壬 &癸\\ \hline 甲 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1\\ \hline 乙 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1\\ \hline 丙 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline 丁 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1\\ \hline 戊 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1\\ \hline 己 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1\\ \hline 庚 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1\\ \hline 辛 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 壬 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1\\ \hline 癸 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1\\ \hline \end{array} $$
当前的截距 $\lambda$ = 0.69
$$M_{0.69} =\begin{array} {c|c|c}{M_{10 \times10}} &甲 &乙 &丙 &丁 &戊 &己 &庚 &辛 &壬 &癸\\ \hline 甲 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline 乙 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1\\ \hline 丙 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline 丁 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1\\ \hline 戊 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1\\ \hline 己 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1\\ \hline 庚 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1\\ \hline 辛 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 壬 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1\\ \hline 癸 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1\\ \hline \end{array} $$
当前的截距 $\lambda$ = 1
$$M_{1} =\begin{array} {c|c|c}{M_{10 \times10}} &甲 &乙 &丙 &丁 &戊 &己 &庚 &辛 &壬 &癸\\ \hline 甲 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline 乙 &1 &1 &1 &1 &1 &0 &1 &0 &1 &1\\ \hline 丙 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline 丁 &1 &1 &1 &1 &1 &0 &1 &0 &1 &1\\ \hline 戊 &1 &1 &1 &1 &1 &0 &1 &0 &1 &1\\ \hline 己 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &0 &1 &1\\ \hline 庚 &1 &1 &1 &1 &1 &0 &1 &0 &1 &1\\ \hline 辛 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 壬 &1 &1 &1 &1 &1 &0 &1 &0 &1 &1\\ \hline 癸 &1 &1 &1 &1 &1 &0 &1 &0 &1 &1\\ \hline \end{array} $$
截域所有结构的拓扑不变性分析
把所有的截距阵的可达矩阵计算出来，并对一系列的可达矩阵进行去重。得到新的可达矩阵系列。
去重后的所有截距阵的可达矩阵如下：
$$R_{0.6} =\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{10 \times10}} &甲 &乙 &丙 &丁 &戊 &己 &庚 &辛 &壬 &癸\\ \hline 甲 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 乙 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 丙 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 丁 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 戊 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 己 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 庚 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 辛 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 壬 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 癸 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline \end{array} $$
$$R_{0.62} =\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{10 \times10}} &甲 &乙 &丙 &丁 &戊 &己 &庚 &辛 &壬 &癸\\ \hline 甲 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 & &1 &1\\ \hline 乙 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 & &1 &1\\ \hline 丙 & & &1 & & & & & & & \\ \hline 丁 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 & &1 &1\\ \hline 戊 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 & &1 &1\\ \hline 己 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 & &1 &1\\ \hline 庚 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 & &1 &1\\ \hline 辛 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 壬 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 & &1 &1\\ \hline 癸 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 & &1 &1\\ \hline \end{array} $$
$$R_{0.69} =\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{10 \times10}} &甲 &乙 &丙 &丁 &戊 &己 &庚 &辛 &壬 &癸\\ \hline 甲 &1 & & & & & & & & & \\ \hline 乙 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 & &1 &1\\ \hline 丙 & & &1 & & & & & & & \\ \hline 丁 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 & &1 &1\\ \hline 戊 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 & &1 &1\\ \hline 己 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 & &1 &1\\ \hline 庚 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 & &1 &1\\ \hline 辛 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 壬 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 & &1 &1\\ \hline 癸 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 & &1 &1\\ \hline \end{array} $$
$$R_{1} =\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{10 \times10}} &甲 &乙 &丙 &丁 &戊 &己 &庚 &辛 &壬 &癸\\ \hline 甲 &1 & & & & & & & & & \\ \hline 乙 &1 &1 &1 &1 &1 & &1 & &1 &1\\ \hline 丙 & & &1 & & & & & & & \\ \hline 丁 &1 &1 &1 &1 &1 & &1 & &1 &1\\ \hline 戊 &1 &1 &1 &1 &1 & &1 & &1 &1\\ \hline 己 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 & &1 &1\\ \hline 庚 &1 &1 &1 &1 &1 & &1 & &1 &1\\ \hline 辛 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 壬 &1 &1 &1 &1 &1 & &1 & &1 &1\\ \hline 癸 &1 &1 &1 &1 &1 & &1 & &1 &1\\ \hline \end{array} $$
上述可达矩阵的交集得到矩阵称之为最小基
可达矩阵的交集所得的矩阵，通常就是截取区段的上界(Sub)的截距阵的可达矩阵。其骨架矩阵即为最小基。$$Meet=Base=\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{10 \times10}} &甲 &乙 &丙 &丁 &戊 &己 &庚 &辛 &壬 &癸\\ \hline 甲 &1 & & & & & & & & & \\ \hline 乙 &1 &1 &1 &1 &1 & &1 & &1 &1\\ \hline 丙 & & &1 & & & & & & & \\ \hline 丁 &1 &1 &1 &1 &1 & &1 & &1 &1\\ \hline 戊 &1 &1 &1 &1 &1 & &1 & &1 &1\\ \hline 己 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 & &1 &1\\ \hline 庚 &1 &1 &1 &1 &1 & &1 & &1 &1\\ \hline 辛 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline 壬 &1 &1 &1 &1 &1 & &1 & &1 &1\\ \hline 癸 &1 &1 &1 &1 &1 & &1 & &1 &1\\ \hline \end{array} $$
一般性骨架矩阵如下：$$S=\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c}{M_{10 \times10}} &甲 &乙 &丙 &丁 &戊 &己 &庚 &辛 &壬 &癸\\ \hline 甲 & & & & & & & & & & \\ \hline 乙 &1 & &1 &1 & & & & & & \\ \hline 丙 & & & & & & & & & & \\ \hline 丁 & & & & &1 & & & & & \\ \hline 戊 & & & & & & &1 & & & \\ \hline 己 & &1 & & & & & & & & \\ \hline 庚 & & & & & & & & &1 & \\ \hline 辛 & & & & & &1 & & & & \\ \hline 壬 & & & & & & & & & &1\\ \hline 癸 & &1 & & & & & & & & \\ \hline \end{array} $$