AHP与ANP方法求权重的原理

　　层次分析法的英语术语为 Analytic Hierarchy Process，可以简称 AHP，是一种运用广泛的定性和定量结合在一起的分析决策研究方法。该方法是Saaty 于 20世纪 70 年代初，在为美国国防部研究一个课题时，提出的一种研究方法。该方法把要素组织成一个树形的层次结构，通过构建不同的层次的成对比较决策矩阵，计算得到各个要素的权值。AHP 的原理是把研究的对象的要素层次化，它首先 确定研究对象的总目标，根据总目标把研究对象分解为不同由若干要素组成的子系统，这些子系统是按照层次的组织方式形成一个层次结构，最终通过子系统里要素之间的成对比较矩阵得出所有要素的权重。

　　网络分析法的英文术语为 Analytic Network Process，简称 ANP，是美国 Saaty教授在 1996 年提出的一种决策方法，该方法的提出是基于层次分析法，是一种适应非独立递阶层次结构的方法。ANP相对于AHP而言，用网络结构代替了层次结构，同时会将要素间的相关性考虑进去，用非线性结构代替线性层次结构，还加入了反馈机制，并考虑到低层要素对于高层要素的支配作用。此后ANP作为一种多准则决策方法，逐渐成为学术界研究的焦点问题，并被广泛用于各领域，解决了诸多复杂决策问题。

　　ANP 和 AHP 有相似之处，因为两者的理论基础都是基于成对比较决策矩阵而来。两者应用的领域与解决的问题大多是无法精确计算，需要加入一定的主观判断的复杂的问题中。两种方法在实际操作中也是相近的。ANP 是 AHP 的延伸，而 AHP 是 ANP 的特例，ANP 与 AHP 是包含关系，AHP 其本质就是 ANP 里的最简单的一种情况。但 AHP 中没有考虑同级要素之间的相互影响、相互依赖、 相互支配的关系，而 ANP 是在充分考虑 AHP 的准则的基础上，进一步考虑准则层里各要素间的相互关系

　　为了解决ANP中复杂与繁琐的建模与计算问题，Saaty所在的美国国家科学基金会，基于 ANP 的计算原理开发了 Super Decisions（简称 SD）软件，随着该软件的不断完善，使得对复杂系统的评价决策更加方便快捷。SD 软件的出现，同 ISM系列相关计算软件的出现一样，大大的降低了研究中计算的工作量，使得研究者能够把主要精力放在建模本身，而不是在计算的细节上。

　　SD软件也可以进行AHP的运算。

　　决策矩阵是决策活动中用来分析和求解决策问题的依据，是各决策要素间定性或定量等相互关系的集中表现矩阵。在风险型决策中，决策矩阵又称为“损益表”、“风险型矩阵”或“决策表”，其基本构成元素主要包括决策变量、状态变量、概率和损益值。在多属性或多目标决策中，针对不同的决策问题，决策矩阵通常称为“决策矩阵”、“属性矩阵”、“属性表”和“判断矩阵”。对于判断矩阵，根据其元素的特性，可 进一步细分为“正互反型判断矩阵”、“互补型判断矩阵”、“模糊判断矩阵”和“语义判断矩阵”等

　　正互反判断矩阵

　　由Thurstone提出的两两成对比较判断矩阵(通常称为正互反判断矩阵)被广泛用来处理多准则决策(多目标决策和多属性决策)中的主客观判断信息。两两比较决策矩阵是层次分析法 AHP 和网络分析法 ANP 的核心。也是AHP与ANP的基础假设。脱离了正互反判断矩阵，就无从谈起AHP后面的一致性校验。

　　两两成对比较判断矩阵(正互反判断矩阵)定义描述如下：

　　$$\begin{array} {c|c|c} {M_{n \times n}} &A_1 & A_2 & \cdots &A_n \\ \hline A_1 & - & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \hline A_2 & a_{21} & - & \cdots & a_{2n} \\ \hline \vdots & \vdots & \vdots & - & \vdots \\ \hline A_n & a_{n1} & a_{n2} & \cdots & -\\ \hline \end{array}$$

　　该决策矩阵可简写为 $A=[a_{ij}]_{n \times n}$

　　决策矩阵 A的元素具有非负性,即 矩阵内任意值不为负数。$a_{ij} >0$

　　互反性指的是 $a_{ij}= \frac {1}{a_{ji}}$

　　DEMATEL中的直接影响矩阵$O$

　　AHP/ANP的基本假设是正互反判断矩阵，对应的是无向图（特殊的有向图）

　　为了对比把直接影响矩阵定义为$A$其形式描述如下：

　　$$\begin{array} {c|c|c} {M_{n \times n}} &A_1 & A_2 & \cdots &A_n \\ \hline A_1 & 0 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \hline A_2 & a_{21} &0 & \cdots & a_{2n} \\ \hline \vdots & \vdots & \vdots & 0 & \vdots \\ \hline A_n & a_{n1} & a_{n2} & \cdots & 0\\ \hline \end{array}$$

　　从两者的定义上可以看出，对于一个决策单元来说。

　　AHP需要进行$\frac {n(n-1)}{2}$次比较判断。主对角线一般取1，表示自己同自己比较，重要程度是一致的。

　　DEMATEL需要进行${n(n-1)}$次比较判断。主对角线取0。

AHP、ANP、DEMATEL原始矩阵对比

　　设：三者都分为三大类，每类分别有三个要素。

　　AHP的结构如下：

　　$$\begin{array} {c|ccc|ccc|ccc} {M_{9 \times 9}} &A1 & A2 & A3 &B1 &B2 &B3 &C1 &C2 &C3\\ \hline A1 &1 & \frac{1}{2} & 3 & & & & & & \\ A2 &2 & 1 & \frac{1}{4} & & & & & & \\ A3 &\frac{1}{3} & 4 & 1 & & & & & & \\ \hline B1 & & & &1 & \frac{1}{3} & 3 & & & \\ B2 & & & &3 & 1 & \frac{1}{7} & & & \\ B3 & & & &\frac{1}{3} & 7 & 1 & & & \\ \hline C1 & & & & & & &1 & \frac{1}{3} & 3 \\ C2 & & & & & & &3 & 1 & \frac{1}{4} \\ C3 & & & & & & &\frac{1}{3} & 4 & 1 \\ \hline \end{array}$$

　　$$\begin{array} {c|c|c} {M_{3 \times 3}} &A & B & C \\ \hline A &1 & \frac{1}{2} & 1 \\ \hline B &2 & 1 & 1 \\ \hline C &1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}$$

　　ANP的结构如下：

　　$$\begin{array} {c|ccc|ccc|ccc} {M_{9 \times 9}} &A1 & A2 & A3 &B1 &B2 &B3 &C1 &C2 &C3\\ \hline A1 &- & \frac{1}{2} & 3 & 1 & 1 &1 &1 & 2 &2 \\ A2 &2 & - & \frac{1}{4} & & & & & & \\ A3 &\frac{1}{3} & 4 & - & & & & & & \\ \hline B1 & 1& & &- & \frac{1}{3} & 3 & & & \\ B2 & 1 & & &3 & - & \frac{1}{7} & & & \\ B3 & 1& & &\frac{1}{3} & 7 & - & & 1 & \\ \hline C1 & 1 & & & & & &- & \frac{1}{3} & 3 \\ C2 &\frac{1}{2} & & & & & &3 & - & \frac{1}{4} \\ C3 & \frac{1}{2} & & & & 1 & &\frac{1}{3} & 4 & - \\ \hline \end{array}$$

　　注：ANP中的原始矩阵，后来取消了决策单元内必须两两比较的部分，即A1与A2可以存在不能比较的部分。

　　DEMATEL的结构如下：

　　$$\begin{array} {c|ccc|ccc|ccc} {M_{9 \times 9}} &A1 & A2 & A3 &B1 &B2 &B3 &C1 &C2 &C3\\ \hline A1 &0 & 3 & 3 & 1 & 1 &1 &1 & 2 &2 \\ A2 &3 & 0 & 3 & 1& 4 & 2 &4 & 3 &3 \\ A3 &3 & 4 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0& 0 & 0\\ \hline B1 & 1& 2 & 1 &0 & 0 & 3 & 0& 4 &2 \\ B2 & 2 &1 & 1&3 & 0& 4 & 1& 3& 4\\ B3 & 1& 1&1 &1& 3 & 0 &3 & 1 &4 \\ \hline C1 & 1 & 4 & 1& 1& 1 & 1&0 & 1 & 3 \\ C2 &1 & 3 &1& 0& 1 &1 &3&0 & 4 \\ C3 & 1 & 1& 1& 1& 1 & 2&3 & 4 & 0 \\ \hline \end{array}$$

　　注：DEMATEL中的原始矩阵，用得最多的是0-4分制，多人打分直接把分数相加即可。直接影响矩阵中，主对角线的必为0。

从AHP与ANP求权重的过程，看D-ANP求权重的过程

　　一个决策单元的AHP求权重的例子（不包含一致性校验）：

　　判断矩阵假设如下：$$\begin{array} {c|c|c} {M_{3 \times 3}} &A & B & C \\ \hline A &1 & \frac{1}{2} & 1 \\ \hline B &2 & 1 & 1 \\ \hline C &1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}$$

　　每列单独归一化(求出比重)：

$$\begin{array} {c|c|c} {M_{4 \times 3}} &A & B & C \\ \hline A &1 & \frac{1}{2} & 1 \\ \hline B &2 & 1 & 1 \\ \hline C &1 & 1 & 1 \\ \hline 列和 &4 & 2.5 & 3 \\ \hline \end{array}$$

$$\begin{array} {c|c|c} {M_{3 \times 3}} &A & B & C \\ \hline A & 0.25 & 0.2 & 0.33333 \\ \hline B & 0.5 & 0.4 & 0.33333 \\ \hline C & 0.5 & 0.4 & 0.33333 \\ \hline \end{array}$$

　　按行求和：

$$\begin{array} {c|c|c} {M_{3 \times 3}} &行和 \\ \hline A & 0.78333333 \\ \hline B & 1.23333333 \\ \hline C & 2.01666667 \\ \hline \end{array}$$

　　其比重就是权重

$$\begin{array} {c|c|c} {M_{3 \times 3}} & 权重 \\ \hline A & 0.194215 \\ \hline B & 0.305785 \\ \hline C & 0.5 \\ \hline \end{array}$$

　　　由上述求权重的过程注意观察两个问题：

　　主对角线为什么取1而非0。

　　第一步是先列归一化。而不是行归一化，再求列和，再计算权重。

　　ANP求权重的例子及流程：

　　基于FISM-ANP-灰色聚类的软件项目开发风险评价研究（页码第53页开始）流程图如下：

　　ANP求权重与D-ANP求权重流程的比较：

　　从流程图来看，其中的综合影响矩阵$T$等同于ANP中的未加权超矩阵。

　　D-ANP方法与ANP方法最大的不同在于，充分的考虑到了影响的传递性。

　　目前很多发表的关于D-ANP方法的论文，相当一部分是错的，它们是基于直接影响矩阵$O$来进行计算的。

　　加权超矩阵的计算及特殊情况处理

　　D-ANP方法中极限超矩阵是通过综合影响矩阵$T$每一列单独归一化（求百分比）得到。

　　当$T$的任意一列值全部为0的时候，对应加权矩阵的列全部为0

　　加权矩阵等同于AHP方法中单个决策矩阵求权重的第一步，即列归一化。具体见上面AHP中的算例。

　　通过极限超矩阵求权重的方法，也可以运用到AHP当中。